Question

Вычислите - 4/5 q, если х1, х2 - корни уравнения х^2-2х+q=0 и х1^3 +х2^3=32.

Answer 1

• Рассмотрим уравнение: x₁³+x₂³ = 32

Преобразуем по формуле суммы кубов:  (x+y)(x²-xy+y²) = x³+y³

(x₁+x₂)(x₁²-x₁x₂+x₂²) = 32

• Рассмотрим уравнение: x²-2x+q = 0

Из теоремы Виета получаем, что

1. x₁+x₂ = 2
2. x₁x₂ = q

Преобразуем нашу формулу суммы кубов, подставив вместо x₁+x₂ и вместо x₁x₂ соответствующие значения (2 и q):

(x₁+x₂)(x₁²-x₁x₂+x₂²) = 32

2 * (x₁²- q + x₂²) = 32

• x₁²+ x₂² - q= 16

Чтобы найти значение x₁²+x₂², возведём в квадрат следующее равенство:

(x₁+x₂)² = 2²

x₁²+2x₁x₂+x₂²=4

x₁²+x₂²=4-2x₁x₂

Воспользуемся следующим равенством x₁x₂ = q

x₁²+x₂²=4-2q

Ещё раз преобразуем нашу формулу:

x₁²+ x₂² - q= 16

4 - 2q - q = 16;

-3q =12

q = -4

Умножим на -4/5 и получаем ответ: -4/5q = -16/5

Answer 2

Начнем с того, что выразим сумму кубов корней через их произведение и сумму:

х1^3 + х2^3 = (х1 + х2)(х1^2 - х1х2 + х2^2)

Мы знаем, что х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения, поэтому:

х1 + х2 = 2 х1х2 = q

Теперь мы можем вычислить х1^2 + х2^2:

х1^2 + х2^2 = (х1 + х2)^2 - 2х1х2 = 4 - 2q

Таким образом, мы можем выразить q через х1^2 + х2^2:

q = (4 - х1^2 - х2^2)/2

Теперь мы можем вычислить -4/5q:

-4/5q = -4/5 * (4 - х1^2 - х2^2)/10 = -2/5 + 2/5 х1^2 + 2/5 х2^2

Подставим значение х1^3 + х2^3 = 32:

х1^3 + х2^3 = (х1 + х2)(х1^2 - х1х2 + х2^2) = 2(х1^2 - х1х2 + х2^2) = 2(х1^2 + х2^2 - q) = 2(4 - q - q) = 8 - 4q

Из этого мы можем выразить q через х1^3 + х2^3:

q = (8 - х1^3 - х2^3)/4

Теперь мы можем подставить это выражение для q в наше ранее полученное выражение для -4/5q:

-4/5q = -2/5 + 2/5 х1^2 + 2/5 х2^2 = -2/5 + 2/5 (4 - х1^2 - х2^2)/2 = -2/5 + 4/5 - 2/5 х1^2 - 2/5 х2^2 = 2/5 - 2/5 х1^2 - 2/5 х2^2

Таким образом, мы получаем:

-4/5q = 2/5 - 2/5 х1^2 - 2/5 х2^2

Ответ: -4/5q = 2/5 - 2/5 х1^2 - 2/5 х2^2.