Question

Выразите рациональную дробь в виде десятичной дроби с выраженным периодом.

Answer 1

Эта дробь имеет вид 0,92(А), где A - 1392-значное число. Его цифры и есть период дроби, при этом $A=3523\cdot (10^{1392}-1)/27081=1300...117.$
Найти это можно даже без калькулятора, но надо кое-чего знать помимо школьной программы. Дробь будет чисто периодической, если ее знаменатель взаимно прост с 10, поэтому будем искать период дроби 100*99799/108324=92+3523/27081=92,(A), которая уже чисто периодическая.
Если обозначить a=3523 и b=27081, A - n-значное число в периоде дроби a/b, то $10^na/b-a/b=a(10^n-1)/b=A.$ Т.е. нам надо найти минимальное n, такое что $10^n-1$ делится на b. Такое n называется порядком числа 10 по модулю b. Т.к. b=27081=27*17*59, то достаточно найти порядки числа 10 по модулям 27, 17, 59. Они равны 3, 16, 58 соответственно. Поэтому длина периода равна НОК(3,16,58)=1392,  а $A=a (10^{1392}-1)/b.$

Answer 2

Для выражения рациональной дроби в виде десятичной дроби с выраженным периодом нужно выполнить деление числителя на знаменатель и определить период.

Например, рассмотрим дробь 3/7:

3 ÷ 7 = 0.4285714285714286...

В этом случае мы видим, что десятичная дробь начинается с 0.428571, а затем повторяет группу цифр 428571 бесконечно. Поэтому мы можем записать это число как 0.428571 с периодом 6:

3/7 = 0.428571...

Если мы хотим выразить дробь с периодом в виде обыкновенной дроби, мы можем воспользоваться формулой для суммы бесконечных геометрических прогрессий:

0.428571... = 0.428571 + 0.000001428571 + 0.000000000002428571 + ...

Заметим, что каждый следующий член этой бесконечной суммы равен предыдущему, умноженному на 10 в степени -6. Таким образом, мы можем записать:

0.428571... = 0.428571 + (0.000001428571)/(1 - 10^-6) = 3/7

Таким образом, мы видим, что 3/7 можно выразить как десятичную дробь с периодом 428571.