Question

Решите неравенство, воспользовавшись введением новой переменной:  а) x^2+|x|-6<0 б) x^2-2|x|-8>0  С решением!!!

Answer 1

а) x^2+|x|-6<0
t=|x|

t^2+t-6<0
t=-3;2
(t+3)(t-2)<0
(|x|+3)(|x|-2)<0
|x|-2<0
|x|<2
-2<x<2

б) x^2-2|x|-8>0
t=|x|

t^2-2t-8>0
t=4; t=-2
(t-4)(t+2)>0
|x|<-2 => нет решения
|x|>4
x= (-∞-4)U(4;+∞)
 

Answer 2

а) Рассмотрим выражение под знаком модуля |x|:

x^2 + |x| - 6 < 0

Для упрощения этого выражения введем новую переменную y = |x|, тогда x = y или x = -y. При этом заметим, что y всегда неотрицательно.

Теперь можем переписать исходное неравенство в виде:

y^2 + y - 6 < 0

Решим квадратное уравнение:

D = 1^2 - 41(-6) = 25 y1,2 = (-1 ± √25) / 2 = -3, 2

Из условия y ≥ 0 следует, что решением неравенства будет интервал:

0 ≤ y < 2

Подставляем обратно y = |x| и получаем два интервала:

-2 < x < 0, 0 < x < 2

Ответ: -2 < x < 0, 0 < x < 2.

б) Аналогично введем новую переменную y = |x|:

x^2 - 2|x| - 8 > 0

y^2 - 2y - 8 > 0

Решим квадратное уравнение:

D = (-2)^2 - 41(-8) = 36 y1,2 = (2 ± √36) / 2 = -2, 4

Из условия y ≥ 0 следует, что решением неравенства будет объединение двух интервалов:

y < -2 или y > 4

Подставляем обратно y = |x| и получаем два интервала:

x < -4 или x > 2, x < 0 или x > 4

Ответ: x < -4 или x > 4, 0 < x < 2.