Question

Решите неравенство |x^2-8| больше либо равно 2x

Answer 1

|x^2-8|>2x

если х<0 очевидно выполняется, так как слева неотрицательное выражение справа отрицательное

если х=0 л.ч. равна 8 ,правая 0, для токи х=0 неравенство тоже выполняется.

 

пусть теперь х>0

тогда обе части неравенства неотрицательны, перейдем к равносильному, понеся обе части неравенства к квадрату, получим (используя тот факт что квадрат модуля выражения равен квадрату выражения,

|A|^2=A^2)

 

(x^2-8)^2>(2x)^2

x^4-16x^2+64>4x^2

x^2-20x^2+64>0

(x^2-4)(x^2-16)>0

(x+4)(x+2)(x-2)(x-4)>0

которое решим методом интервалов, учев , что нас интересует только те х, которые больше 0

 

критические точки -4, -2, 2, 4 (при них левая часть обращается в 0), они разбивают координатную прямую на промутки

(-бесконечность; -4), (-4;-2), (-2;2), (2;4), (4;+бесконечность), на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет знак,

нас интересует поведение левой части только на трех промежутках

(0;2), (2,4) (4;+бесконечность)

возьмем точку х=5 , л.ч.= (x+4)(x+2)(x-2)(x-4)=(5+4)(5+2)(5-2)(5-4)>0

а значит на промежутке (4;+бесконечность) л.ч неравенства >0 , (5 принадлежит указанному промежутку, что верно для нее, верно для всего промежутка)

возьмем точку х=3, л.ч.= (x+4)(x+2)(x-2)(x-4)=(3+4)(3+2)(3-2)(3-4)<0

а значит на промежутке (2:4) л.ч неравенства <0 , (3 принадлежит указанному промежутку, что верно для нее, верно для всего промежутка)

возьмем точку 1 л.ч= (x+4)(x+2)(x-2)(x-4)=(1+4)(1+2)(1-2)(1-4)>0

а значит на промежутке (0;2) л.ч неравенства >0 , (1 принадлежит указанному промежутку, что верно для нее, верно для всего промежутка)

 

обьединяя все найденные  решения окончательно получим

ответ: (-бесконечность; 2)обьединение (4;+бесконечность)

Answer 2

Неравенство |x^2-8| >= 2x можно решить, разбивая его на два случая:

1. x^2 - 8 >= 2x
2. -(x^2 - 8) >= 2x

Для первого случая:

x^2 - 8 >= 2x x^2 - 2x - 8 >= 0

Это квадратное неравенство, которое можно решить, используя методы решения квадратных уравнений. Сначала находим корни уравнения x^2 - 2x - 8 = 0:

x = (2 +/- sqrt(2^2 - 41(-8)))/(2*1) x = (2 +/- sqrt(36))/2 x = 1 +/- 3

Таким образом, корни уравнения равны x = -2 и x = 4. Эти значения делят числовую прямую на три интервала: (-бесконечность, -2), (-2, 4) и (4, +бесконечность). Чтобы определить, где неравенство выполняется, нужно проверить знак выражения x^2 - 8 - 2x на каждом интервале.

Для интервала (-бесконечность, -2):

x^2 - 8 - 2x > 0 - так как x^2 - 8 - 2x = (x - 4)(x + 2) < 0 на этом интервале

Для интервала (-2, 4):

x^2 - 8 - 2x <= 0 - так как x^2 - 8 - 2x = (x - 4)(x + 2) >= 0 на этом интервале

Для интервала (4, +бесконечность):

x^2 - 8 - 2x > 0 - так как x^2 - 8 - 2x = (x - 4)(x + 2) < 0 на этом интервале

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах (-бесконечность, -2) и (4, +бесконечность):

x < -2 или x > 4

Для второго случая:

-(x^2 - 8) >= 2x x^2 - 8 <= -2x x^2 + 2x - 8 <= 0

Это квадратное неравенство, которое можно решить, используя тот же метод, что и для первого случая. Найдем корни уравнения x^2 + 2x - 8 = 0:

x = (-2 +/- sqrt(2^2 - 41(-8)))/(2*1) x = (-2 +/- sqrt(36))/2 x = -1 +/- 3

Таким образом, корни уравнения равны x = -4 и x = 2. Эти значения также делят числовую прямую на три интервала