Question

Решить пример 1+2Sin2x+2Cosквадратеx=0

Answer 1

$1+2sin2x+2cos^2x=0\\sin^2x+cos^2x+4sinxcosx+2cos^2x=0|\; :cos^2x\\ tgx^2x+4tgx+3=0\\ tgx=u\\u^2+4u+3=0\\ D: \; 16-12=4\\ u=\frac{-4\pm 2}{2}\\u_1=-1\\tgx=-1\\x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, \; n\in Z;\\\\u_2=-3\\tgx=-3\\x=-arctg3+\pi n, \; n\in Z$

Answer 2

Для начала, давайте преобразуем данное уравнение:

$$1+2\sin(2x)+2\cos^2(x)=0.$$

Мы можем заменить $\cos^2(x)$ на $1-\sin^2(x)$, используя тождество $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$:

$$1+2\sin(2x)+2(1-\sin^2(x))=0.$$

Теперь мы можем сгруппировать слагаемые:

$$2\sin^2(x)+2\sin(2x)-1=0.$$

Заменяем $2\sin(2x)$ на $4\sin(x)\cos(x)$:

$$2\sin^2(x)+4\sin(x)\cos(x)-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение относительно $\sin(x)$:

$$\sin(x) = \frac{-4\cos(x) \pm \sqrt{16\cos^2(x) + 8}}{4} = -\cos(x) \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Таким образом, мы получили два решения:

$$\sin(x) = -\cos(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sin(x) = -\cos(x) - \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Первое уравнение эквивалентно:

$$\sin(x) + \cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Мы можем записать это в виде:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Следовательно, одно из решений это:

$$x = \frac{\pi}{4} - \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 0.315.$$

Второе уравнение эквивалентно:

$$\sin(x) - \cos(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Мы можем записать это в виде:

$$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Следовательно, второе решение это:

$$x = \frac{\pi}{4} + \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 1.963.$$

Итак, мы получили два решения:

$$x_1 \approx 0.315, \quad x_2 \approx 1.963.$$