Question

Найдите количество целых решений неравенства (4-3x)^2меньше либо равно 81. Пожалуйста, помогите:)

Answer 1

(4-3x)² ≤ 81

|4-3x| ≤ 9

Последнее неравенство эквивалентно двойному неравенству:

-9 ≤ 4 - 3x ≤ 9                |-4

-13 ≤ -3x ≤ 5                   |:(-3)

-5/3 ≤ x ≤ 13/3

Целые решения: -1; 0; 1; 2; 3; 4. Всего целых решений неравенства: 6

Answer 2

Начнем с того, что раскроем квадрат в левой части неравенства: (4 - 3x)^2 = 16 - 24x + 9x^2

Теперь мы имеем неравенство вида: 16 - 24x + 9x^2 ≤ 81

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: 9x^2 - 24x - 65 ≤ 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения, которое получается при приравнивании левой части к нулю: 9x^2 - 24x - 65 = 0

Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 49(-65) = 936

Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два различных вещественных корня: x1 = (24 + sqrt(936)) / 18 ≈ 3.889 x2 = (24 - sqrt(936)) / 18 ≈ -1.422

Получаем два корня, разделяющих вещественную ось на три интервала: (-∞, x2), (x2, x1) и (x1, +∞).

Так как ветви параболы, задающей функцию 9x^2 - 24x - 65, направлены вверх, то на интервалах (-∞, x2) и (x1, +∞) неравенство 9x^2 - 24x - 65 ≤ 0 не выполняется.

Таким образом, остается проверить, когда выполняется неравенство на интервале (x2, x1).

В этом интервале знак выражения 9x^2 - 24x - 65 меняется с минуса на плюс, поэтому неравенство выполнено на этом интервале, и количество целых решений равно количеству целых чисел на этом интервале. Очевидно, что это два целых числа: -1 и -2.

Итак, решением неравенства (4-3x)^2 ≤ 81 являются все целые числа x, которые удовлетворяют условию -2 ≤ x ≤ -1. Количество целых решений равно 2.