Question

Знайти найбільше значення функції y=9/(x^2+4x+8)

Answer 1

Распишем знаменатель 
$x^2+4x+8 = x^2+4x+4+4=(x+2)^2+4$

Так как квадрат не может быть отрицательным, то наименьшим знаменатель будет в точке -2, потому что тогда квадрат станет нулем.

Итого, наибольшее значение  $\frac{9}{(-2)^2-8+8} = \frac{9}{4}$

Answer 2

Для знаходження найбільшого значення функції потрібно визначити її точку максимуму або мінімуму. Оскільки функція $y=9/(x^2+4x+8)$ є дробовою раціональною функцією, ми можемо використати похідну, щоб знайти точку максимуму.

Спочатку знайдемо похідну функції $y$ за правилом диференціювання дробових раціональних функцій:

$$y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{9}{x^2+4x+8}\right) = \frac{-18(x+2)}{(x^2+4x+8)^2}.$$

Точка максимуму або мінімуму буде тоді, коли похідна $y'$ дорівнює нулю або не існує. Покладаючи $y'$ рівним нулю, ми отримуємо рівняння:

$$-18(x+2) = 0,$$

з якого випливає, що $x=-2$.

Тепер перевіримо, чи є точка $x=-2$ точкою максимуму. Для цього дослідимо знак похідної $y'$ в околі цієї точки.

Якщо $x<-2$, то $(x+2)^2>0$, тому $y'<0$. Якщо $x>-2$, то $(x+2)^2>0$, тому $y'>0$. З цього випливає, що точка $x=-2$ є точкою максимуму функції $y$.

Отже, найбільше значення функції $y$ буде при $x=-2$ і дорівнюватиме:

$$y(-2) = \frac{9}{(-2)^2+4(-2)+8} = \frac{9}{4} = 2.25.$$

Таким чином, найбільше значення функції $y$ дорівнює $2.25$, і досягається при $x=-2$.