Question

Докажите, что если n- нечётное число, то значение выражения (n+2)^2-1 делится на 8.

Answer 1

(n+2)^2-1, здесь п- нечетное число.
п=2к+1.
(2к+1+2)^2-1=(2к+3)^2-1=4к^2+12к+9-1=4к^2+12к+8=4(к^2+3к+2).
пусть к=1. 4·6=24:8
к=3. 4·20=80:8

Answer 2

Для доказательства данного утверждения мы воспользуемся методом математической индукции.

Базовый случай: Для n=1, выражение (n+2)^2-1 равно (1+2)^2-1 = 9-1 = 8, что делится на 8.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого нечетного числа n значение выражения (n+2)^2-1 делится на 8, то есть (n+2)^2-1 = 8k, где k - целое число.

Рассмотрим значение выражения для n+2: (n+2+2)^2-1 = (n+4)^2-1 = (n+2)^2+8(n+2)+16-1 = (n+2)^2+8(n+2)+15.

По предположению индукции, (n+2)^2-1 = 8k, поэтому (n+2)^2+8(n+2)+15 = 8k + 8(n+2) + 15 = 8(k+n+3) + 7.

Выражение 8(k+n+3) делится на 8, поэтому для того, чтобы выражение (n+2+2)^2-1 = (n+4)^2-1 делилось на 8, остаток 7 должен делиться на 8. Это возможно только при нечетных значениях (n+2), так как при четных значениях (n+2) остаток будет равен 3, что не делится на 8.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для некоторого нечетного числа n, то оно верно и для числа (n+2). Из базового случая следует, что утверждение верно для n=1, а по индукции оно верно для всех нечетных чисел n. Следовательно, утверждение верно для любого нечетного числа n.