Question

Найдите а, если известно, что прямая y=2x+1 является касательной к графику функции

Answer 1

В точке касания координаты прямой и графика функции совпадают.

Поэтому приравняем: \sqrt{4x^2+\frac{a}{3} } +3x = 2х + 1.

Перенесём 3х направо: \sqrt{4x^2+\frac{a}{3} }  = -x + 1.

Возведём обе части в квадрат: 4x² + (a/3) = х² - 2х + 1.

Приведём подобные и получаем квадратное уравнение:

3x² + 2х + ((a/3) -  1) = 0.

Д = 2² - 4*3*((а/3)-1) = 4 - (12*а/3) + 12 = 16 - 4а = 4(4 - а).

Чтобы решение было единственным (одна точка касания), дискриминант должен быть равен нулю:  4(4 - а) = 0.

Отсюда получаем ответ: а = 4.

Answer 2

Для того чтобы найти а, нам нужно знать уравнение функции, к графику которой прямая y=2x+1 является касательной.

Если мы обозначим эту функцию как f(x), то уравнение касательной к ее графику в точке x0 будет иметь вид:

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0),

где f'(x0) обозначает производную функции f(x) в точке x0.

Так как прямая y=2x+1 является касательной к графику функции, то у нее должны быть одинаковые угловые коэффициенты, то есть:

f'(x0) = 2.

Также мы знаем, что точка касания лежит на прямой y=2x+1. Подставляя координаты точки касания в уравнение касательной, получим:

f(x0) = 2x0 + 1.

Теперь мы можем записать полное уравнение функции f(x), используя ее производную и точку касания:

f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) = (2x0 + 1) + 2(x - x0) = 2x + 1.

Таким образом, функция, график которой имеет касательную y=2x+1, имеет вид f(x) = 2x+1. Значит, a=2.