Question

Докажите, что если сумма положительных чисел a и b равна 1, то: (верхнее выражение)Я пробовал решить составив систему неравенств

Answer 1

Дано, что $a+b=1$, значит $b=1-a$
Значит надо доказать, что:
$a^4+(1-a)^4 \geq \frac{1}{8}$
Исследуем левую часть неравенства как функцию от а:
$f(a) = a^4+(1-a)^4$
Считаем производную:
$f'(a) = 4a^3-4(1-a)^3$
Если решить уравнение $f'(a)=0$, то будет один корень а = 1/2 - это точка минимума.
Находим минимальное значение f(a):
$f( \frac{1}{2}) = ( \frac{1}{2} )^4+(1- \frac{1}{2} )^4 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$
Минимальное значение функции = 1/8, значит:
$f(a) = a^4+(1-a)^4 \geq \frac{1}{8}$

Answer 2

Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, которое записывается следующим образом:

(a+b)/2 ≥ √(ab)

где a и b - положительные числа.

Для доказательства неравенства достаточно возвести обе части в квадрат:

(a+b)^2/4 ≥ ab

a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab

a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0

(a-b)^2 ≥ 0

Последнее неравенство всегда выполняется, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Следовательно,

(a-b)^2 ≥ 0

a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0

a^2 + b^2 ≥ 2ab

(a+b)^2/2 ≥ 2ab

(a+b)/2 ≥ √(ab)

Таким образом, мы доказали, что если сумма положительных чисел a и b равна 1, то

(a+b)/2 ≥ √(ab)

что и требовалось доказать.