Question

Какой цифрой заканчивается произведение 7 х 27 х 47 х 67 х 87 х...х 1987 х 2007 ?

Answer 1

9...........................................................

Answer 2

Кажется 9
.......................

Answer 3

Заметим, что последняя цифра в каждом из этих чисел зависит только от последней цифры 7, 7, 7, 7, 7, ..., 7, 7, 7, 7, 0, 0, ..., 0, 0, 0, 2 и 7, соответственно.

Так как при умножении на любую цифру кроме нуля, последняя цифра изменяется, мы можем проигнорировать все числа, кроме тех, у которых последняя цифра равна 7. Из чисел, которые остаются, 7, 27, 47, 67, 87, ... 2007, только 7 и 27 дают 1 в качестве последней цифры при умножении на 7.

Таким образом, чтобы определить последнюю цифру произведения, мы должны рассмотреть количество множителей, которые равны 7 и 27. Каждый раз, когда мы умножаем на 7, последняя цифра произведения становится 7. Когда мы умножаем на 27, последние две цифры произведения становятся 89 (то есть, 27 x 7 = 189, 27 x 87 = 2349, и т. д.). Следовательно, каждый раз, когда мы умножаем на 27, мы добавляем в конец произведения 89.

Мы можем заметить, что 1987 - 7 = 1980, и 1980 делится на 10, поэтому после умножения на 7 в произведении останется два нуля.

Теперь мы можем рассмотреть каждый множитель, кратный 27, и посмотреть, сколько раз мы умножаем на 27, чтобы получить его. Поскольку каждый множитель, кратный 27, представляет собой произведение трёх факторов 3 х 3 х число, не кратное 3, мы должны умножить его на 27 три раза, чтобы получить соответствующий множитель в произведении. Таким образом, мы добавим 3 х 2 = 6 девяток (то есть, 89 в конце произведения) за каждый такой множитель.

Множители вида 27 х 3n имеют последнюю цифру 1 (например, 27 х 3 = 81), поэтому они не добавляют никаких девяток в конец произведения.

Множители вида 27 х 5n имеют последнюю цифру 7 (например, 27 х 5 = 135), поэтому они добавляют