Question

найдите разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения cos^2x-0,5sin2x=0, на отрезке [0;2п].

Answer 1

$cos^{2}x-0.5*2sinx*cosx=0$
$cosx*(cosx-sinx)=0$
1)  $cosx=0$
$x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k$, k∈Z
2)  $sinx=cosx$
$tgx=1$
$x= \frac{ \pi }{4}+ \pi k$, k∈Z

Выборка корней из отрезка: pi/4, pi/2, 5pi/4, 3pi/2
Наибольший корень: 3pi/2
Наименьший корень: pi/4
Разность: 3pi/2 - pi/4 = 6pi/4 - pi/4 = 5pi/4

Ответ: 5pi/4

Answer 2

Для решения данного уравнения можно воспользоваться тригонометрическими тождествами, например, заменой sin2x = 2sinxcosx. Тогда уравнение примет вид:

cos^2x - sinx cosx = 0

cosx (cosx - sinx) = 0

Таким образом, получаем два уравнения:

cosx = 0 и cosx = sinx

Решим первое уравнение:

cosx = 0

x = π/2, 3π/2

Решим второе уравнение:

cosx = sinx

sinx/cosx = tanx = 1

x = π/4, 5π/4

Таким образом, получаем четыре корня: x = π/4, π/2, 5π/4, 3π/2.

Наибольший корень находится при x = 3π/2, а наименьший – при x = π/4. Их разность равна:

3π/2 - π/4 = (6π - π)/4 = 5π/4

Ответ: 5π/4.