Question

Известно, что каждое из целых чисел a и b не делится на 7, а их сумма не делится на 7. Делится ли на 7 число а - b?

Answer 1

Да, но не всегда. Например: а=10, b=3

Answer 2

Предположим, что a - b делится на 7. Это означает, что существует целое число k, такое что:

a - b = 7k

Можно переписать это уравнение как:

a = 7k + b

Также известно, что a и b не делятся на 7, что означает, что остатки от деления a и b на 7 не равны 0.

Так как 7 = 2×3+1, то можно использовать китайскую теорему об остатках, чтобы представить a и b в виде:

a = 3m + 1 b = 3n + 1

где m и n - некоторые целые числа. Это означает, что сумма a и b равна:

a + b = 3m + 3n + 2

Так как a + b не делится на 7, то 3m + 3n + 2 не делится на 7, что в свою очередь означает, что сумма m и n должна быть нечётной.

Теперь можно рассмотреть выражение для a - b:

a - b = 3m + 1 - (3n + 1) = 3(m - n)

Таким образом, a - b делится на 3, но не обязательно на 7. Следовательно, из предоставленных условий нельзя утверждать, что a - b делится на 7.