Question

Найти интеграл sin^4(x)/cos^2(x)

Answer 1

$\int \frac{sin^4x}{cos^2x}\, dx=\int \frac{sin^4x\cdot cos^4x}{cos^4x\cdot cos^2x}\, dx=\int \frac{sin^4x}{cos^4x}\cdot cos^4x\cdot \frac{dx}{cos^2x}=\\\\=[1+tg^2x=cos^2x\; \to \; \; cos^4x=(cos^2x)^2=(1+tg^2x)^2\;,\\\\d(tgx)=\frac{dx}{cos^2x}\, ]=\int tg^4x\cdot (1+tg^2x)^2\cdot d(tgx)=[\, t=tgx\, ]=\\\\=\int t^4\cdot (1+2t^2+t^4)\cdot dt=\int (t^4+2t^6+t^8)dt=\\\\=\frac{t^5}{5}+\frac{2t^7}{7}+\frac{t^9}{9}+C=\frac{tg^5x}{5}+\frac{2tg^7x}{7}+\frac{tg^9x}{9}+C$

Answer 2

Мы можем преобразовать исходное выражение, используя тригонометрические тождества, чтобы получить более простую форму:

sin^4(x)/cos^2(x) = (sin^2(x)/cos^2(x))^2 = tan^2(x)^2

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение, используя замену переменной. Положим u = tan(x), тогда du/dx = sec^2(x) и dx = du/ sec^2(x).

Теперь мы можем заменить sin^4(x)/cos^2(x) на tan^2(x)^2 и заменить dx на du/ sec^2(x):

∫ sin^4(x)/cos^2(x) dx = ∫ tan^2(x)^2 dx = ∫ (u^2)^2 du/ sec^2(x) = ∫ u^4 sec^2(x) du

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение, используя степенную формулу для тригонометрических функций:

∫ u^4 sec^2(x) du = (1/3)u^3 sec^2(x) + (2/3) ∫ u^2 du sec^2(x) = (1/3)tan^3(x) + (2/3) ∫ (tan^2(x) + 1 - 1) du/ cos^2(x) = (1/3)tan^3(x) + (2/3) (tan(x) - x + C)

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательное решение имеет вид:

∫ sin^4(x)/cos^2(x) dx = (1/3)tan^3(x) + (2/3) (tan(x) - x) + C.