Question

помогите ПОЖАЛУЙСТА решить....Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые при делении на 4 и на 6 дают в остатке 1, а при делении на 9 дают в остатке 7.

Answer 1

Пусть х и у - два числа из условия. Тогда их разность x-y делится на 4,6 и 9, т.е. она делится на НОК(4,6,9)=36. Значит x-y=36k. Поэтому, если найти хотя бы одно число у, имеющее остатки 1,1 и 7 при делении на 4,6 и 9, то все остальные получатся из него по правилу x=y+36k, где k - любое целое число (понятно, что при каждом  целом k, получаемое х будет иметь те же остатки при делении на 4,6,9). Понятно, что y должно быть вида y=1+12m, т.е. на интервале от 0 до 35 может быть только y=25.Значит, все нужные трехзначные имеют вид 25+36k при k=3,4,...,27. (т.е. от 133 до 997 с шагом 36) Значит их сумма (сумма арифметической прогрессии) равна (133+997)*25/2=14125.

Answer 2

Чтобы найти сумму всех трехзначных чисел, которые удовлетворяют условиям задачи, следует перебрать все такие числа и сложить их. Но можно упростить задачу, используя некоторые свойства этих чисел.

Для начала найдем все трехзначные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1. Такие числа можно представить в виде 4n + 1, где n - целое число. Минимальное такое число - 101 (425 + 1), а максимальное - 997 (4249 + 1).

Затем найдем все трехзначные числа, которые при делении на 6 дают в остатке 1. Такие числа можно представить в виде 6m + 1, где m - целое число. Минимальное такое число - 121 (620 + 1), а максимальное - 997 (6166 + 1).

Далее найдем все трехзначные числа, которые при делении на 9 дают в остатке 7. Такие числа можно представить в виде 9k + 7, где k - целое число. Минимальное такое число - 7 (90 + 7), а максимальное - 988 (9109 + 7).

Чтобы найти все трехзначные числа, которые удовлетворяют всем трем условиям, нужно найти пересечение множеств чисел, соответствующих каждому из условий. Таким образом, нужно найти все числа, которые одновременно принадлежат множествам {101, 105, ..., 997}, {121, 127, ..., 997} и {7, 16, ..., 988}.

Чтобы упростить поиск пересечения, можно заметить, что все числа, которые одновременно дают остатки 1 при делении на 4 и на 6, можно представить в виде 12q + 1, где q - целое число. Минимальное такое число - 121 (1210 + 1), а максимальное - 997 (1283 + 1).

Таким образом, нужно найти все числа, которые при делении на 9 дают в остатке 7 и при делении на 12 дают в остатке 1. Такие числа можно представить в виде 36r + 25, где r - целое число. Минимальное такое число - 25 (360 + 25), а максимальное - 973 (3627 + 25).

Осталось сложить все такие числа:

(25 + 61 + ... + 973) = 36*(25 + 61 + ... + 973)/36 = 36*(25 + 997)/2