Question

Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x)=x^3-2x^2+x+3

Answer 1

(-беск; 1/3) (1;+беск) возрастает
(1/3;1) убывает

Answer 2

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3, нужно найти её производную и определить знак производной на каждом интервале. Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна, то убывает. Точки, в которых производная равна нулю, являются критическими точками, где функция может менять свой характер.

Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 4x + 1

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: 3x^2 - 4x + 1 = 0 (x - 1)(3x - 1) = 0 x1 = 1, x2 = 1/3

Получили две критические точки: x1 = 1, x2 = 1/3.

Теперь составим таблицу знаков производной в трех интервалах: (-∞, 1/3), (1/3, 1), и (1, +∞).

Copy code
x    |  -∞  |  1/3  |  1  | +∞

---------|------|-------|-----|----- f'(x) | - | + | - | + f(x) | ↓ | мин. | макс| ↑

Из таблицы видно, что функция возрастает на интервалах (-∞, 1/3) и (1, +∞), и убывает на интервале (1/3, 1). Критические точки x1 = 1 и x2 = 1/3 являются точками минимума и максимума соответственно.

Таким образом, интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3:

• возрастает на (-∞, 1/3) и (1, +∞)
• убывает на (1/3, 1)