Question

Log 9(2-x^2+2x)+4 найдите наибольшее значение функции

Answer 1

$y=log_9(-x^2+2x+2)+4$
Возрастающая функция  $y=log_9t+4$ примет наибольшее значение тогда, когда многочлен -x²+2x+2 примет наибольшее значение, т.е. надо найти абсциссу и ординату вершины параболы -x² +2x+2.
$x_o=- \frac{b}{2a} =- \frac{2}{-2} =1\\ y_o=-1+2+2=3$
Получаем  $log_93+4=0,5+4=4,5$ - наибольшее значение.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции нужно найти критические точки, то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Начнем с нахождения производной функции:

f(x) = log9(2-x^2+2x)+4

f'(x) = [(2-x^2+2x)' / (2-x^2+2x)] / (ln9)

f'(x) = [(-2x+2) / (2-x^2+2x)] / (ln9)

f'(x) = (-2x+2) / [(2-x)(x+1)ln9]

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует:

• (-2+2x) / [(2-x)(x+1)ln9] = 0 Это уравнение имеет единственное решение: x=1
• (2-x)(x+1)ln9 = 0 Отсюда получаем две точки: x=-1 и x=2

Теперь необходимо проверить значения функции в этих точках, чтобы определить, где находится наибольшее значение функции.

f(-1) = log9(4)+4 = 2+4 = 6 f(1) = log9(1)+4 = 0+4 = 4 f(2) = log9(0)+4 = не существует

Таким образом, наибольшее значение функции равно 6 и достигается при x=-1.