Question

Постройте график функции: y=(x^2-x-6)(x^2-x-2)/x^2-4 помогите, пожалуйста, как это начать решать?

Answer 1

Чтобы легче было решать нам нужно сократить это большое выражение

Разложим 1 скобку сверху

$(x^{2}-x-6)=(x-3)(x+2)$

Разложим вторую скобку сверху

$(x^{2}-x-2)=(x-2)(x+1)$

Разложим знаменатель(нижняя скобка)

$x^{2}-4=(x-2)(x+2)$

Теперьь все сократим подставив в наше выражение

$y=\frac{(x^{2}-x-6)(x^{2}-x-2)}{x^{2}-4}=\frac{(x-3)(x+2)(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)}=(x-3)(x+1)$

Ты сократила выражения теперь чтобы построить функцию задай несколько значений х,по ним ты определишь у.Потом сторишь график.Например возьмем х=5

$y(x)=(x-3)(x+1)\\y(5)=(5-3)(5+1)=2*6=12$

Т.е. ты нашла одну коордионату х=5,у=12.Задай еще несколько и строй график

Answer 2

Для построения графика данной функции необходимо определить ее особые точки, асимптоты, интервалы монотонности и знаки производной функции.

Для начала, рассмотрим выражение в знаменателе функции: x^2-4. Оно равно нулю при x=2 и x=-2. Значит, функция не определена в этих точках, поскольку нельзя делить на ноль.

Далее, рассмотрим выражение в числителе функции: (x^2-x-6)(x^2-x-2). Найдем корни квадратного уравнения x^2-x-6=0 и x^2-x-2=0: x^2-x-6=0 => x=-2 или x=3 x^2-x-2=0 => x=-1 или x=2 Заметим, что x=2 является корнем обоих уравнений.

Теперь мы можем разложить функцию на множители: y = (x+2)(x-3)(x+1)(x-2)/(x+2)(x-2) = (x-3)(x+1)

Из этого выражения можно заключить, что особые точки функции -2 и 2 сокращаются при упрощении, и функция определена на всей числовой прямой, кроме этих точек. Также можно заметить, что функция имеет нули в точках x=-1 и x=3.

Чтобы определить интервалы монотонности и знаки производной, нужно взять производную функции: y' = 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 Найдем корни этого уравнения: 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 = 0 => x ≈ -1.34, x ≈ 1.1, x ≈ 2.03

Теперь мы можем построить таблицу знаков производной:

интервал	(-∞,-1.34)	(-1.34,1.1)	(1.1,2.03)	(2.03,∞)
знак y'	-	+	-	+
монотонность y	убывает	возрастает	убывает	возрастает

Из таблицы знаков производной и особенностей функции можно построить график:

markdownCopy code
         ________
        /        \
       /          \
      /            \

_/ _ -1 0 1 2 3

На графике видно, что функция имеет нули в точках x=-1 и x=3, а также вертикальные