Question

Много баллов!!! Доказать, что график функции y=arccos x симметричен относительно точки (0;П/2)

Answer 1

Y=1/(X^2-1)
1)D(y)=(-беск;-1) (-1;1) (1;+беск), т.к. x^2-1=0; x^2=1;x=+-1
2) y=0; 1/(x^2-1)=0 решений не имеет, график не пересекает ось х
 пересекает ось у    х=0; у=1/(0-1)=-1;   (0;-1)
3)у>0 ;  x^2-1>0; x^2>1;  (-,беск; -1) (1;+беск)
  y<0;  x^2-1<0;  x^2<1;  (-1;1)
4)  y=f(x); f(-x)=1/((-x)^2-1)=1/(x^2-1)=f(x); заданная ф-я чётная
 её график симметричен относительно оси у
5)непериодическая; 6) х=-1 и х=1-вертикальные асимптоты (знаменатель обращается в 0!) Они и есть точки разрыва
7) y '=-1/(x^2-1)^2 *(x^2-1)'=-2x/(x^2-1)^2; -2x=0; x=0
(x^2-1)^2>0!;   -2x>0 => x<0,     
                       -2x<0 =>x>0   
y ' +           +            -            -
  ------- -1 -----------0--------------1--------- 
y возрас тает          убывает убывает х=0-точка макс; (0;-1)
8)y ''=-(2x/(x^2-1)^2)'=-(2(x^2-1)^2-2x* 2(x^2-1)*2x)/(x^2-1)^4=-((x^2-1)(2x^2-2-8x))/(x^2-1)^4=-(2x^2-8x-2)/(x^2-1)^3
y ''=0 дальше сами

Answer 2

Для доказательства симметрии графика функции y = arccos x относительно точки (0, π/2) необходимо показать, что если точка (x, y) находится на графике функции, то точка (-x, π-y) также будет находиться на графике функции.

Пусть (x, y) - произвольная точка на графике функции y = arccos x. Это означает, что x = cos y.

Так как cos(-y) = cos(y), то x = cos(-y). Следовательно, точка (-x, -y) также лежит на графике функции y = arccos x.

Теперь мы можем использовать тот факт, что график функции y = arccos x симметричен относительно оси y. Это означает, что если точка (x, y) находится на графике функции, то точка (-x, y) также будет находиться на графике функции.

Таким образом, мы можем заключить, что точка (-x, π-y) также лежит на графике функции y = arccos x, потому что она является результатом двух последовательных отражений точки (x, y) относительно оси y и точки (0, π/2).

Таким образом, мы доказали, что если точка (x, y) находится на графике функции y = arccos x, то точка (-x, π-y) также будет находиться на графике функции. Следовательно, график функции y = arccos x симметричен относительно точки (0, π/2).