Question

(даю 10 баллов, только ОБЪЯСНИТЕ) Известно, что квадратное уравнение ax^2 + bx + c =0 не имеет корней и при этом a + b + c > 0. Определите знак коэффициента c

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(x)=ax^2+bx+c$. Из условия $f(1)=a+b+c>0$;

c = f(0) > 0, т.е. коэффициент c имеет знак +

Answer 2

Ответ:

c > 0

Объяснение: f(x) = ax² + bx +c

D = b² -4ac , по условию D < 0 ⇒ a·c >0 , то есть числа a и с

 должны иметь одинаковые знаки , пусть a < 0  и  c < 0 , тогда

 f(x) < 0  для всех х (  в противном случае парабола пересечет

ось ОХ ,  так как ее ветви направлены вниз и уравнение будет

иметь корни ) , но по условию  f(1) = a+b+c > 0 ⇒  возможен

только вариант a >0  и c > 0

Answer 3

Если квадратное уравнение не имеет корней, то дискриминант должен быть отрицательным:

$b^2 - 4ac < 0$

Учитывая это и зная, что $a+b+c > 0$, мы можем рассмотреть два возможных случая:

1. $a>0$: Если $a>0$, то дискриминант всегда будет отрицательным, когда $c>0$. Действительно, в этом случае $b^2 < 4ac$, а значит, $b^2 - 4ac < 0$. При этом, если $c<0$, то $a+b+c < a+b$, что означает, что сумма коэффициентов станет положительной, что противоречит условию. Таким образом, $c$ должен быть положительным.

2. $a=0$: Если $a=0$, то уравнение превращается в линейное $bx+c=0$, которое имеет единственный корень $x=-\frac{c}{b}$. При этом, для того чтобы $bx+c=0$ не имело корней, необходимо, чтобы $b$ и $c$ были одного знака. Если $b$ и $c$ положительны, то $a+b+c$ будет положительным, что противоречит условию. Значит, $b$ и $c$ должны быть отрицательными. Однако, в этом случае $a+b+c<0$, что также противоречит условию. Значит, этот случай невозможен.

Таким образом, мы пришли к выводу, что коэффициент $c$ должен быть положительным.