Question

Пользуясь формулой Муавра и Бином Ньютона, выразите через степени sin фи cos фи следующие функции кратных углов: 1) sin 4фи;2)cos 5фи.

Answer 1

task/29588553   Пользуясь формулой Муавра  и  Бином Ньютона , выразить через степени sinφ и cosφ следующие функции кратных углов :

1) sin 4φ  ;       2) cos 5φ.  

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * *  z₁ =a₁ + i *b₁  ;    z₂ =a₂ +i*b₂ .      Если  z₁ = z₂ , то  a₁ = a₂ и   b₁ = b₂  * * *

Формула Муавра: zⁿ = ( r(cosφ +i sinφ) )ⁿ = rⁿ*[cos(nφ) + i*sin(nφ)].

1 )  (cosφ +i sinφ)⁴ = cos4φ + i * sin4φ     ( а₁ )             * * * r =1 * * *

С другой стороны по формуле бинома Ньютона :

(cosφ +i sinφ)⁴=cos⁴φ+4cos³φ*(isinφ)+6cos²φ*(isinφ)²+4cosφ*(isinφ)³+(i sinφ)⁴

= cos⁴φ - 6cos²φ*sin²φ +sin⁴φ + i*( 4cos³φ*sinφ - 4cosφ*sin³φ) .  ( б₁ )

Сравнивая (а₁) и (б₁) получаем :

sin4φ =4cos³φ*sinφ - 4cosφ*sin³φ  || = 4sinφcosφ* (cos²φ - sin²φ) =

2sin2φ *cos2φ =sin4φ ||  

========================================

2)  (cosφ +i sinφ)⁵ = cos5φ + i*sin5φ      ( а₂ )    

(cosφ +i sinφ)⁵ =cos⁵φ +5cos⁴φ*(isinφ)+10cos³φ*(isinφ)²+10cos²φ*(isinφ)³ +

+ 5cosφ*(isinφ)⁴+ (i sinφ)⁵ = cos⁵φ - 10cos³φ*sin²φ +5cosφ*sin⁴φ +

+i*(5cos⁴φ*isinφ -  10cos²φ*sin³φ + sin⁵ φ ).      ( б₂ )    

Сравнивая (а₂) и (б₂) получаем  :

cos5φ = cos⁵φ - 10cos³φ*sin²φ +5cosφ*sin⁴φ  .

Answer 2

1. Для выражения sin 4фи через степени sin фи и cos фи воспользуемся формулой Муавра для sin(2nфи):

scssCopy code
sin(2nфи) = 2^(2n-1) * sin^n(фи) * cos^(2n-1)(фи) * (1 - cos^2(фи))^0.5

Здесь n = 2, поэтому:

scssCopy code
sin(4фи) = 2^(2*2-1) * sin^2(фи) * cos^(2*2-1)(фи) * (1 - cos^2(фи))^0.5
         = 8 * sin^2(фи) * cos^3(фи) * (1 - cos^2(фи))^0.5

Таким образом, мы выразили sin 4фи через степени sin фи и cos фи.

2. Для выражения cos 5фи через степени sin фи и cos фи воспользуемся формулой Бинома Ньютона:

scssCopy code
cos(nфи) = sum(k=0 to n) (n choose k) * sin^k(фи) * cos^(n-k)(фи)

Здесь n = 5, поэтому:

scssCopy code
cos(5фи) = (5 choose 0) * sin^0(фи) * cos^5(фи) +
           (5 choose 1) * sin^1(фи) * cos^4(фи) +
           (5 choose 2) * sin^2(фи) * cos^3(фи) +
           (5 choose 3) * sin^3(фи) * cos^2(фи) +
           (5 choose 4) * sin^4(фи) * cos^1(фи) +
           (5 choose 5) * sin^5(фи) * cos^0(фи)

         = cos^5(фи) + 5 * sin(фи) * cos^4(фи) + 10 * sin^2(фи) * cos^3(фи) +
           10 * sin^3(фи) * cos^2(фи) + 5 * sin^4(фи) * cos(фи) + sin^5(фи)

Таким образом, мы выразили cos 5фи через степени sin фи и cos фи.