Question

Написать уравнение касательной к графику функции y=(3x-5)/(x-3), параллельной прямой y=-4x-31.

Answer 1

Касательная - линейная функция. Раз касательная параллельная прямой у=-4х-31, то угловые коэффициенты прямых совпадают (k=-4).

Найдем производную функции первого порядка:
    $y'=\displaystyle\bigg( \frac{3x-5}{x-3}\bigg)'= \frac{(3x-5)'(x-3)-(3x-5)(x-3)'}{(x-3)^2} =\\ \\ \\ = \frac{3(x-3)-(3x-5)}{(x-3)^2}= \frac{3x-9-3x+5}{(x-3)^2}=- \frac{4}{(x-3)^2}$

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
$y'(x_0)= -\dfrac{4}{(x_0-3)^2} =-4\\ \\ 1=(x_0-3)^2\\ \\ 1-(x_0-3)^2=0\\ (1-x_0+3)(1+x_0-3)=0\\ (4-x_0)(x_0-2)=0$

Откуда получаем  $x_0=4$ и  $x_0=2$ - точки касания.

Найдем уравнение касательной графика функции y(x) в точке касания x₀=4
$f(x)=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)$ - общий вид уравнения касательной.

Найдем значение функции в точке х₀=4:
$y(4)= \dfrac{3\cdot4-5}{4-3} =7$

$f_1(x)=-4(x-4)+7=-4x+16+7=\boxed{-4x+23}$ - уравнение касательной в точке х₀=4

Найдем значение функции в точке х₀=2:
$y(2)= \dfrac{3\cdot2-5}{2-3} =-1$

$f_2(x)=-4(x-2)-1=-4x+8-1=\boxed{-4x+7}$ - уравнение касательной в точке х₀=2

Answer 2

Для того, чтобы уравнение касательной к графику функции было параллельным прямой, необходимо, чтобы производная функции в точке касания была равна коэффициенту наклона данной прямой.

Найдем производную функции y=(3x-5)/(x-3) с помощью правила дифференцирования частного:

y' = [(3*(x-3) - (3x-5)*1)/(x-3)^2] = -8/(x-3)^2

Таким образом, производная функции y равна -8/(x-3)^2.

Для того, чтобы касательная была параллельна прямой y=-4x-31, ее угловой коэффициент должен быть равен -4.

Теперь найдем точку касания, для этого нужно найти такое значение x, при котором производная функции равна -4:

-8/(x-3)^2 = -4

Решив это уравнение, мы получим x=1 или x=5.

Теперь найдем соответствующие значения y:

y(1) = (31 - 5)/(1-3) = 1 y(5) = (35 - 5)/(5-3) = 5

Таким образом, у нас есть две точки касания: (1,1) и (5,5).

Уравнение касательной в точке (1,1) имеет вид:

y - 1 = -4(x - 1)

y = -4x + 5

Уравнение касательной в точке (5,5) имеет вид:

y - 5 = -4(x - 5)

y = -4x + 25

Таким образом, уравнениями касательных являются y = -4x + 5 и y = -4x + 25.