Question

В равнобедренном треугольнике ABC проведена высота BD к основанию AC. Длина высоты — 12,1 см, длина боковой стороны — 24,2 см.Определи углы этого треугольника

Answer 1

По условию Δ АВС  -  равнобедренный.
По свойствам равнобедренного треугольника:
1)Боковые стороны равны:
АВ=ВС = 24,2 см  
2) Углы при основании равны:
∠А  = ∠ С  
3) Высота к основанию является биссектрисой и медианой:
BD = 12,1 см   - высота к основанию АС   
∠BDA=∠BDC = 90°  
AD= DC 
∠AВD = ∠CBD 
ΔВDA = ΔBDC  -   прямоугольные и равные треугольники

Катеты :  ВD = 12,1 см  , AD = DC  
Гипотенуза : AB=ВС= 24,2  см  
BD/AB  = ВD/ВC = 12,1/24,2  = 1/2    ⇒   BD =¹/₂* АВ = ¹/₂ *ВС
Катет , лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Следовательно:
 ∠A =  ∠С  = 30°  
Сумма углов любого треугольника  = 180°.
∠В = 180  - 2*30  = 180 - 60   = 120°

Ответ : ∠А = ∠С = 30° ; ∠В = 120° .

Answer 2

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором BD - высота, опущенная на основание AC. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то BD является биссектрисой угла BAC.

Обозначим через D точку пересечения высоты BD с основанием AC. Тогда AD = DC, так как BD является биссектрисой угла BAC. Обозначим через x длину отрезка AD (или DC), через y длину отрезка BD, а через z длину отрезка BC. Тогда имеем систему уравнений:

x + y = 24,2 (так как AD + BD = AB) x = ytg(A/2) (из прямоугольного треугольника ABD) z = 2y*cos(A/2) (из прямоугольного треугольника BDC) z^2 = x^2 + (24,2/2)^2 (из теоремы Пифагора для треугольника ABC)

Заметим, что угол A/2 является биссектрисой угла BAC, поэтому можно выразить tg(A/2) через отношение длин сторон треугольника ABC:

tg(A/2) = BD/AD = (z/2)/(x) = z/(2x)

Теперь можно выразить x и y через z:

x = ytg(A/2) = yz/(2x) y = z/((2/x) + tg(A/2))

Подставляем эти выражения в уравнение для z^2:

z^2 = (y*z/(2/x))^2 + (24,2/2)^2

Решаем это уравнение относительно z и получаем:

z = 17,16 см

Теперь мы можем вычислить углы треугольника ABC, используя формулы для тригонометрических функций. Например, угол BAC можно найти по формуле:

cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2)/(2BCAC) cos(A) = (17,16^2 + 12,1^2 - 24,2^2)/(217,1612,1) cos(A) = 0,2 A = arccos(0,2) A = 78,46°

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC равен углу BCA. Таким образом, углы треугольника ABC равны:

A = B = 78,46° C = 180° - 2*A C = 23,08°