Question

Помогите решить 12cos^2x+20sinx-19=0 Пожалуйста !!!

Answer 1

12cos²x+20sinx -19 = 0 ⇔12(1- sin²x)+20sinx -19 = 0⇔12sin²x - 20sinx +7 = 0

⇔ sinx =( 10 ± 4)/12⇔[sinx =1/2 ; sinx =7/6 >1. ⇔ sinx =1/2⇒x =(-1)ⁿπ/6 +πn ,n ∈ℤ .

* * * D₁=D/4 = (-20/2)² - 12*7 =100 -84 =16 = 4²        D- дискриминант  * * *

Answer 2

Для решения этого уравнения используем замену переменной, пусть t = cos(x), тогда sin(x) = sqrt(1 - t^2).

Заменим sin(x) в уравнении:

12cos^2(x) + 20sqrt(1 - t^2) - 19 = 0

Теперь выразим cos^2(x) через t^2, используя тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

cos^2(x) = 1 - sin^2(x) = 1 - (1 - t^2) = t^2

Подставим это выражение в уравнение:

12t^2 + 20sqrt(1 - t^2) - 19 = 0

Введем дополнительную замену переменной u = sqrt(1 - t^2), тогда t^2 + u^2 = 1. Тогда уравнение можно переписать в виде:

12t^2 + 20u - 19 = 0

12(1 - u^2) + 20u - 19 = 0

12u^2 + 20u - 7 = 0

Теперь решим квадратное уравнение относительно u:

u = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

u = (-20 ± sqrt(20^2 - 4 * 12 * (-7))) / (2 * 12)

u1 ≈ -1/3, u2 ≈ 7/6

Поскольку u = sqrt(1 - t^2), то возможны два случая:

1. sqrt(1 - t^2) = -1/3. Но это невозможно, поскольку sqrt(1 - t^2) не может быть отрицательным.

2. sqrt(1 - t^2) = 7/6. Тогда t^2 = 1 - (7/6)^2 = 11/36. Извлекая корень из обеих сторон, получаем t = ±sqrt(11)/6.

Теперь найдем все решения уравнения, подставляя найденные значения t в исходное уравнение:

cos(x) = sqrt(11)/6, sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(25/36) = 5/6, тогда x = arcsin(5/6) или x = pi - arcsin(5/6).

cos(x) = -sqrt(11)/6, sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(25/36) = 5/6, тогда x = pi - arcsin(5/6) или x = 2pi + arcsin(5/6).

Ответ: x = arcsin(5/6), pi - arcsin(5/6), 2pi - arcsin(5/6).