Question

Решите уравнение cos2x+cosx=0 Подробно!

Answer 1

Cos2x+cosx=0
cos²x-sin²x+cosx=0
2cos²x+cosx-1=0
cosx=t€[-1;1]
2t²+t-1=0
D=1+8=9=3²
t=(-1±3)/4
t1=-1;t2=1/2
1)cosx=-1;x=π+2πk
2)cosx=-1/2;x=±(π-π/3)+2πk
x=±2π/3+2πk;k€Z

Answer 2

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

cos2x = 2cos^2x - 1

Тогда исходное уравнение можно переписать следующим образом:

2cos^2x - 1 + cosx = 0

Упрощаем:

2cos^2x + cosx - 1 = 0

Решаем квадратное уравнение относительно cosx с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1 + 8 = 9

cosx1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-1 ± 3) / 4 = -1/2 или 1/2

Таким образом, решением уравнения cos2x + cosx = 0 являются значения x, для которых:

cosx = -1/2 или cosx = 1/2

Для нахождения всех решений на интервале [0, 2π) можно построить график функции y = cos2x + cosx и найти значения x, в которых она пересекает ось абсцисс:

Таким образом, решениями уравнения cos2x + cosx = 0 на интервале [0, 2π) являются:

x1 = π/3 + 2πn, где n - любое целое число x2 = 5π/3 + 2πn, где n - любое целое число