Question

А) Решите уравнение: 2 Cos^2 x + 5 Sin x + 1=0 б) Укажите корни, принадлежащие отрезку п<a<2п

Answer 1

$2cos^{2}x+5sinx+1=0 \\ 2(1-sin^{2}x)+5sinx+1=0 \\ 2-2sin^{2}x+5sinx+1=0 \\ -2sin^{2}x+5sinx+3=0 \\ sinx=u \\ -2u^{2}+5u+3=0 \\ D:25+24=1 \\ x_1,_2 \frac{5\pm 1}{4} \\ x_1= \frac{3}{2}=1,5 \\ x_2=1$
x1 = 1,5 не подходит, т.к. косинус ограниченная функция [-1;1].
$x_2=1 \\ cosx=1 \\ x=2\pi n,n\in Z$

Answer 2

а) Решение уравнения 2 Cos^2 x + 5 Sin x + 1=0:

Перепишем уравнение в терминах только синусов и косинусов:

2(1 - Sin^2 x) + 5 Sin x + 1 = 0

2Sin^2 x - 5Sin x + 3 = 0

Решим квадратное уравнение относительно Sin x:

D = 5^2 - 423 = 1

Sin x = (5 ± √1)/4 = 1 или 3/2

Если Sin x = 1, то x = π/2 + 2πk, где k - целое число.

Если Sin x = 3/2, то решений нет, так как Sin x <= 1.

Итак, уравнение имеет единственное решение x = π/2 + 2πk, где k - целое число.

б) Найдем корни уравнения на отрезке π/2 < x < 2π:

x = π/2 не подходит, так как Sin(π/2) = 1, а Sin x не может принимать значение больше 1.

x = 3π/2 является решением, так как Sin(3π/2) = -1 и Cos(3π/2) = 0. Это решение не входит в интервал π/2 < x < 2π, поэтому ответа на вопрос нет.