Question

3×16^{x}+2×81^{x}=5×36^{x} 15 баллов

Answer 1

$\displaystyle 3*16^x+2*81^x=5*36^x\\\\2*9^{2x}-5*(9*4)^x+3*4^{2x}=0|4^{2x}\\\\ 2*(\frac{9}{4})^{2x}-5*(\frac{9}{4})^x+3=0\\\\ (\frac{9}{4})^x=t\\\\2t^2-5t+3=0\\\\D=25-24=1\\\\t_{1.2}= \frac{5\pm 1}{4}\\\\t_1= \frac{6}{4}= \frac{3}{2}; t_2=1$

$\displaystyle (\frac{9}{4})^x= \frac{3}{2}\\\\ (\frac{3}{2})^{2x}= \frac{3}{2}\\\\2x=1\\\\x= \frac{1}{2}$

$\displaystyle (\frac{9}{4})^x=1\\\\x=0$

Ответ  х=0; х=1/2

Answer 2

Дано уравнение:

$3 \cdot 16^{x} + 2 \cdot 81^{x} = 5 \cdot 36^{x}$

Мы можем заметить, что $16 = 4^2$ и $81 = 3^4$, а $36 = 6^2$, поэтому мы можем переписать это уравнение следующим образом:

$3 \cdot (4^2)^{x} + 2 \cdot (3^4)^{x} = 5 \cdot (6^2)^{x}$

Затем мы можем упростить это уравнение, используя свойства степеней:

$3 \cdot 4^{2x} + 2 \cdot 3^{4x} = 5 \cdot 6^{2x}$

Теперь мы можем заменить $4^{2x}$ на $(2^2)^{2x} = 2^{4x}$ и $6^{2x}$ на $(2\cdot3)^{2x} = 2^{2x} \cdot 3^{2x}$:

$3 \cdot 2^{4x} + 2 \cdot 3^{4x} = 5 \cdot 2^{2x} \cdot 3^{2x}$

Мы можем разделить обе стороны на $3^{4x}$:

$3^{4x} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot 2^{4x} + 2 \right) = 5 \cdot 2^{2x} \cdot 3^{2x}$

Затем мы можем поделить обе стороны на $3^{2x}$:

$3^{2x} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot 2^{4x} + 2 \right) = 5 \cdot 2^{2x}$

Теперь мы можем заметить, что $2^{4x} = (2^2)^{2x} = 4^{2x}$, поэтому мы можем заменить $2^{4x}$ на $4^{2x}$:

$3^{2x} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot 4^{x} + 2 \right) = 5 \cdot 2^{2x}$

Затем мы можем заменить $2^{2x}$ на $(2^2)^x = 4^x$:

$3^{2x} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot 4^{x} + 2 \right) = 5 \cdot 4^{x}$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $4^x$. Раскрывая скобки, получим:

$\frac{9}{2} \cdot 3^{2x} \cdot 4^{x} + 3^{2x} \cdot 2 = 5 \cdot 4^{x}$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$$$