Question

X^2-6xy+9y^2+3a^2+1 Нужно доказать что выражение принимает только положительные значения

Answer 1

Преобразуем:
(x - 3y)^2+3a^2+1;
(x-3y)^2≥0; 3a^2≥0; 1>0⇒ сумма >0

Answer 2

Для доказательства того, что данное выражение принимает только положительные значения, можно воспользоваться методом подстановки.

Пусть x и y - произвольные действительные числа. Тогда можно записать:

X^2-6xy+9y^2+3a^2+1 = (X-3y)^2 + 3a^2 + 1

Заметим, что выражение (X-3y)^2 всегда неотрицательно, то есть (X-3y)^2 >= 0. Следовательно, для любых x и y выполняется:

(X-3y)^2 + 3a^2 + 1 > 0

Таким образом, выражение X^2-6xy+9y^2+3a^2+1 всегда положительно для любых действительных чисел x, y и a.

Доказательство завершено.