Question

Задумано двузначное число. Известно, что  сумма квадратов  цифр  этого  числа равна 74. Если  цифры числа поменять местами, то получим число, на 18 больше задуманного. Какое число было задумано?

Answer 1

Пусть х -цифра десятков, у - цифра единиц задуманного числа. Известно, что х^2+y^2=74, а также, что (10у+х)-(10х+у)=18. Составим и решим систему уравнений:

 

х^2+y^2=74

(10у+х)-(10х+у)=18

 

х^2+y^2=74

10у+х-10х-у=18

 

х^2+y^2=74

9у-9х=18

 

х^2+y^2=74

у-х=2

 

х^2+y^2=74

у=2+х

 

х^2+(2+х)^2=74

у=2+х

 

х^2+4+4х+х^2-74=0

у=2+х

 

2х^2+4х-70=0

у=2+х

 

х^2+2х-35=0

у=2+х

 

х^2+2х-35=0

по теореме Виета:

х1=5; х2=-7 (цифра не может быть отрицательной)

у=2+х

 

х=5

у=2+5

 

х=5

у=7

Ответ: задуманное число 57.

Answer 2

Предположим, что задуманное двузначное число состоит из десятков и единиц. Пусть десятки равны x, а единицы равны y.

Из условия задачи мы знаем, что сумма квадратов цифр этого числа равна 74, то есть x^2 + y^2 = 74.

Если поменять местами цифры числа, то получим число, на 18 больше задуманного. Это означает, что полученное число равно 10y + x, и уравнение для этого числа будет (10y + x) = (10x + y) + 18.

Раскроем скобки во втором уравнении: 10y + x = 10x + y + 18

Перенесем все переменные в одну сторону: 10y - y = 10x - x + 18 9y = 9x + 18

Разделим оба выражения на 9: y = x + 2

Теперь мы имеем систему уравнений: x^2 + y^2 = 74 y = x + 2

Подставим второе уравнение в первое: x^2 + (x + 2)^2 = 74

Раскроем скобки: x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 74

Соберем все слагаемые: 2x^2 + 4x + 4 = 74

Перенесем 74 на другую сторону: 2x^2 + 4x - 70 = 0

Разделим уравнение на 2: x^2 + 2x - 35 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или квадратного корня. Факторизуя его, получим: (x + 7)(x - 5) = 0

Это дает два возможных значения для x: -7 и 5.

Если x = -7, то y = -7 + 2 = -5, что не является допустимым, так как задуманное число должно быть положительным.

Если x = 5, то y = 5 + 2 = 7.

Итак, задуманное число - это 57.