Question

Найдите корни уравнения 40+16х-2/х^2-5/х^3=0

Answer 1

40+16x-2/x²-5/x³=0  |×x³                        ОДЗ: х²≠0   х³≠0   х≠0
40x³+16x⁴-2x-5=0
16x⁴+40x³-2x-5=0
x₁=0,5
16x⁴+40x³-2x-5   |_x-0,5_
16x⁴-8x³                | 16x³+48x²+22x+10
------------
            48x³-2x
            48x³-24x²
            ------------
                     22x²-2x
                     22x²-12x
                     ------------
                               10x-5
                               10x-5
                                -------
                                        0
16x³+48x²+22x+10=0
x₂=-2,5
16x³+48x²+22x+10  |_x+2,5_
16x³+40x²                  | 16x²+8x+2
------------
              8x²+22x
              8x²+20x
             ------------
                        2x+10
                        2x+10
                        --------
                                  0
16x²+8x+2=0    |÷2
8x²+4x+1=0     D=-16  ⇒  Уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: х₁=0,5     х₂=-2,5.

Answer 2

Данное уравнение можно привести к общему знаменателю и упростить:

40 + 16x - 2/x^2 - 5/x^3 = 0

Первым шагом умножим все слагаемые на x^3, чтобы избавиться от дробей в знаменателях:

40x^3 + 16x^4 - 2x - 5 = 0

Затем перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

16x^4 - 2x + 40x^3 - 5 = 0

По теореме о рациональных корнях уравнения коэффициенты при старшей и свободной степенях неотрицательны, и возможные рациональные корни должны быть делителями свободного коэффициента 5. Переберем все возможные значения и найдем корни:

x = ±1/5, ±1, ±5

Проверим каждое найденное значение, подставив его в исходное уравнение. Как оказывается, только x = 5 является корнем данного уравнения. Проверим:

40 + 16(5) - 2/(5^2) - 5/(5^3) = 0

40 + 80 - 2/25 - 1/25 = 0

118/25 - 3/25 = 115/25 = 0

Таким образом, корнем уравнения является x = 5.