Question

Упростите выражение cos(a+B)+sina*sinB/sin( a+B)-cosa*sinB 

Answer 1

 Выражение: cos(a+b)+sin(a)*sin(B)/sin(a+b)-cos(a)*sin(B)              Ответ: cos(a+b)+sin(a)*sin(B)/sin(a+b)-cos(a)*sin(B)                                                

Answer 2

Давайте преобразуем числитель дроби с помощью формулы произведения синусов:

sina*sinB = (cos((π/2) - a) * sinB) = cos((π/2) - a)*sinB

Таким образом, наше выражение примет вид:

cos(a + B) + cos((π/2) - a)*sinB / sin(a + B) - cos(a)*sinB

Сгруппируем члены синусов и члены косинусов:

(cos(a + B)*sin(a + B) + cos((π/2) - a)*sinB) / sin(a + B) - cos(a)*sinB

Преобразуем первое слагаемое в числителе, с помощью формулы синуса суммы:

cos(a + B)*sin(a + B) = (sin(a)*cos(B) + cos(a)sin(B))(sin(a)cos(B) - cos(a)*sin(B)) = sin(a)*cos(a)*cos(B)^2 - sin(a)*cos(a)*sin(B)^2 + sin(B)*cos(B)*cos(a)*sin(a) + sin(B)*cos(B)*cos(a)*sin(a)

Теперь заменим это выражение на первое слагаемое в нашем уравнении:

(sin(a)*cos(a)*cos(B)^2 - sin(a)*cos(a)*sin(B)^2 + sin(B)*cos(B)*cos(a)*sin(a) + sin(B)*cos(B)*cos(a)*sin(a) + cos((π/2) - a)*sinB) / sin(a + B) - cos(a)*sinB

Сгруппируем члены синусов и косинусов второй раз:

(sin(a)*cos(a)*cos(B)^2 + sin(B)*cos(B)*cos(a)*sin(a) + sin(B)*cos(B)*cos(a)*sin(a) + cos((π/2) - a)*sinB - sin(a)*cos(a)*sin(B)^2) / sin(a + B) - cos(a)*sinB

Объединим члены, содержащие sin(a) и cos(a):

(sin(a)cos(a)(cos(B)^2 - sin(B)^2) + sin(B)*cos(B)2cos(a) + cos((π/2) - a)*sinB) / sin(a + B) - cos(a)*sinB

Заменим выражение в скобках на cos(2B):

(sin(a)*cos(a)cos(2B) + 2sin(B)*cos(B)*cos(a) + cos((π/2) - a)*sinB) / sin(a + B) - cos(a)*sinB

Далее, заметим, что первое слагаемое является произведением синуса и косинуса, что можно записать через синус угла, удвоенного на аргумент:

(sin(2B)*cos(a) + cos((π/2) - a)*sinB) / sin(a + B) - cos(a)*sinB

Используем формулу синуса разности:

(sin(2B)*cos(a) + sin(a)*cos(B))