Question

Решите уровнение sin x cos x+ 2 sin ^2 x= cos ^2 x

Answer 1

Здесьбольшедвадцатисимволов

Answer 2

Начнем с приведения косинуса к синусу, используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$\begin{aligned} \sin x \cos x + 2 \sin^2 x &= \cos^2 x \\ \Rightarrow \sin x \cos x + 2 \sin^2 x &= 1 - \sin^2 x \\ \Rightarrow 3 \sin^2 x + \sin x \cos x - 1 &= 0 \end{aligned}$

Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно $\sin x$, и мы можем решить его, используя общую формулу для квадратных уравнений:

$\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 3$, $b = \cos x$, $c = -1$.

$\begin{aligned} \sin x &= \frac{-\cos x \pm \sqrt{\cos^2 x + 12}}{6} \end{aligned}$

Заметим, что так как $-1 \leq \sin x, \cos x \leq 1$, то выражение под корнем должно быть неотрицательным, т.е. $\cos^2 x + 12 \geq 0$. Это выполняется для любых значений $x$.

Таким образом, окончательное решение:

$\sin x = \frac{-\cos x \pm \sqrt{\cos^2 x + 12}}{6}$

или, эквивалентно,

$\cos x = \frac{-\sin x \pm \sqrt{\sin^2 x + 12}}{6}$

где $\sin x$ и $\cos x$ должны удовлетворять ограничению $-1 \leq \sin x, \cos x \leq 1$.