Question

Решите уравнение: 8^x+18^x=2*27^x

Answer 1

Відповідь: 0

Пояснення: фото

Answer 2

${8}^{x} + {18}^{x} - 2 \times {27}^{x} = 0 \\ \\ {2}^{3x} + {(2 \times {3}^{2} )}^{x} - 2 \times {3}^{3x} = 0 \\ \\ {2}^{3x} + {2}^{x} \times {3}^{2x} - 2 \times {3}^{3x} = 0 \: \: |: ({3}^{3x}) \\ \\ (\frac{2}{3} ) ^{3x} + (\frac{2}{3} ) ^{x} - 2 = 0 \\ \\ (\frac{2}{3} ) ^{x} = t \\ \\ {t}^{3} + t - 2 = 0$

По сумме коэффициентов понятно, что один из корней равен 1

Так как: 1³+1-2=2-2=0

По схеме Горнера понижаем степень данного уравнения до квадратного:

.. | 1 | 0 | 1 | -2
1 | 1 | 1 | 2 | 0

${t}^{2} + t + 2 = 0$

D=1-8=-7 < 0— Корней нет

$t = 1 \\ \\ {( \frac{2}{3} )}^{x} = 1 \\ \\ {( \frac{2}{3} )}^{x} = {( \frac{2}{3} )}^{0} \\ \\ x = 0$

Ответ: 0

Answer 3

Дано уравнение:

$8^x+18^x=2\cdot 27^x$

Мы можем заметить, что $8 = 2^3$ и $27 = 3^3$, поэтому мы можем переписать уравнение в следующем виде:

$(2^3)^x + (3^2 \cdot 2)^x = 2 \cdot (3^3)^x$

Далее, мы можем использовать свойства экспоненты, чтобы переписать выражения с одинаковыми основаниями:

$2^{3x} + 2^x \cdot 3^{2x} = 2 \cdot 3^{3x}$

Теперь мы можем вынести общий множитель $2^x$ из первых двух слагаемых:

$2^x (2^{2x} + 3^{2x}) = 2 \cdot 3^{3x}$

После этого мы можем поделить обе стороны на $2 \cdot 3^{2x}$:

$\frac{2^x}{3^{2x-1}} \left(2^{2x} + 3^{2x}\right) = 2\cdot 3^x$

Далее, мы можем ввести замену $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, тогда:

$\begin{aligned} y \cdot \left(\frac{4}{9}y^2 + 1\right) &= 2y \\ \frac{4}{9}y^3 + y - 2y &= 0 \\ \frac{4}{9}y^3 - y &= 0 \\ y(4y^2-9) &= 0 \end{aligned}$

Таким образом, получаем два возможных решения: $y = 0$ и $y = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}$.

Переводя обратно в исходные переменные, получаем:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = y = 0 \qquad \text{или} \qquad \left(\frac{2}{3}\right)^x = y = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}$

Первое уравнение не имеет решений, потому что никакая степень $2/3$ не может дать ноль.

Второе уравнение можно решить, взяв логарифм от обеих сторон:

$x \log\left(\frac{2}{3}\right) = \log\left(\frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}\right)$

И окончательно получаем:

$x = \frac{\log\left(\frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}\right)}{\log\left(\frac{2}{3}\right)} \approx 1.63$

Таким образом, решением исходного уравнения является $x \approx 1.63$.