Question

Пусть x1 и x2 - корни уравнения x^2-2x-5=0 . Не решая уравнения, найти: x1^2+x2^2

Answer 1

По теореме Виета
$x_1+x_2=2$

Выясним взаимосвязь x1+x2 и x1²+x2²
$(x_1+x_2)^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2$

По теореме Виета
$x_1x_2=-5$

Тогда
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2^2-(-2*5)=4+10=14$

Ответ: 14

Answer 2

Мы знаем, что x1 и x2 являются корнями уравнения x^2 - 2x - 5 = 0, что означает, что они удовлетворяют этому уравнению. Мы можем использовать это уравнение, чтобы выразить x2 через x1, так как мы знаем, что уравнение имеет два корня.

Для этого мы можем преобразовать уравнение x^2 - 2x - 5 = 0, добавив 5 и выделив полный квадрат на левой стороне, чтобы получить:

(x - 1)^2 - 6 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти значения x1 и x2:

(x1 - 1)^2 - 6 = 0 (x2 - 1)^2 - 6 = 0

(x1 - 1)^2 = 6 (x2 - 1)^2 = 6

x1 - 1 = ±√6 x2 - 1 = ±√6

x1 = 1 ±√6 x2 = 1 ±√6

Теперь мы можем вычислить x1^2 + x2^2, используя эти значения:

x1^2 + x2^2 = (1 + √6)^2 + (1 - √6)^2

= 1 + 2√6 + 6 + 1 - 2√6 + 6

= 14

Таким образом, мы нашли, что x1^2 + x2^2 = 14, не решая исходное уравнение напрямую.