Question

Найдите площадь фигуры ограниченной параболами y=x^2-2x и y=-x^2

Answer 1

Y=x^2-2x=x^2-2x+1-1=(x-1)^2-1
Эта парабола получается смещением параболы y=x^2 на 1 единицу вправо и на 1 единицу вниз; (1;-1) - вершина параболы, ветви направлены вверх
y=-x^2 - ветви направлены вниз; (0;0) - вершина параболы
Найдем их точки пересечения:
x^2-2x=-x^2⇒2x^2-2x=0⇒2x(x-1)=0⇒x1=0; x2=1
Это будут пределы интегрирования
$S= \int\limits^1_0 {(-x^2-(x^2-2x)} \, dx = \int\limits^1_0 {(2x-x^2)} \, dx$=
=(x^2-2/3*x^3)I₀¹=(1-2/3)-(0-0)=1/3
Ответ: 1/3

Answer 2

Для начала, найдем точки пересечения данных парабол. Приравняем уравнения парабол друг к другу:

x^2 - 2x = -x^2

2x^2 - 2x = 0

2x(x - 1) = 0

Таким образом, x = 0 или x = 1.

Подставим эти значения в уравнения парабол, чтобы найти соответствующие значения y:

для x=0:

y = -x^2 = 0

y = x^2 - 2x = 0

для x=1:

y = -x^2 = -1

y = x^2 - 2x = -1

Таким образом, точки пересечения парабол: (0,0) и (1,-1).

Используя вершины парабол и точки пересечения, мы можем построить график:

yamlCopy code
         |
      +1 |     *
         |    / \
         |   /   \
         |  /     \
         | /       \
y-axis   |*---------*
         |
      -1 |           \
         |            \
         |             \
         |              \
         |               \
         |                \
         |                 \
         |                  \
         |                   \
         |                    \
         |                     \
         |                      \
         |                       \
         |                        \
         |                         \
         |                          \
         |                           \
         |                            \
         |                             \
         |_____________________________\
                0      1      2      3   x-axis

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими параболами, мы можем разбить ее на две части: первая часть находится выше параболы y = x^2 - 2x и ниже параболы y = -x^2, а вторая часть находится между параболами.

Первую часть можно найти, вычислив интегралы каждой параболы в пределах их пересечения:

∫(0 to 1) (x^2 - 2x) dx + ∫(0 to 1) (-x^2) dx

= [x^3/3 - x^2] from 0 to 1 + [-x^3/3] from 0 to 1

= (1/3 - 1/3) + (-1/3)

= -1/3

Отрицательный знак означает, что площадь первой части находится ниже оси x.

Вторую часть можно найти, вычислив разность между интегралом параболы y = x^2 - 2x и параболы y = -x^2:

∫(0 to 1) (x^2 - 2x) dx - ∫(0 to 1) (-x^2) dx

= [x^3/3 - x