Question

Решите уравнение 2cosx-sin^2x-2=0

Answer 1

$2cosx-sin^2x-2=0\\2cosx-(1-cos^2x)-2=0\\2cosx-1+cos^2x-2=0\\cos^2x+2cosx-3=0\\y=cosx\\y^2+2y-3=0\\ \left \{ {{y_1*y_2=3} \atop {y_1+y_2=-2}} \right.\\\\ \left \{ {{y_1=1} \atop {y_2=-3}} \right.$

cosx=1                           cosx≠-3, т.к. |cosx|≤1, а |-3|=3>1
x=2πn, n∈Z

Ответ: 2πn, n∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем использовать несколько различных методов. Один из наиболее простых и эффективных методов - замена переменных.

Обозначим sin(x) через t. Тогда уравнение примет вид:

2cos(x) - sin^2(x) - 2 = 0

2cos(x) - (1 - cos^2(x)) - 2 = 0 // заменяем sin^2(x) на 1 - cos^2(x)

cos^2(x) + 2cos(x) - 3 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно cos(x):

cos(x) = (-2 ± √(2^2 - 4×1×(-3))) / (2×1) = (-2 ± √16) / 2

cos(x) = -3 или cos(x) = 1

Так как значение косинуса должно быть в интервале [-1, 1], то единственным корнем уравнения будет cos(x) = 1. Тогда

x = 2πk, где k ∈ Z

Таким образом, решением уравнения 2cos(x) - sin^2(x) - 2 = 0 являются все углы, кратные 2π.