Question

Подробное решение пределов: lim (tg² 4x) / (x sin3x) x->0 lim (7-3x) в степени x / (2x-4) x->2

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

1. lim (tg² 4x) / (x sin3x) x->0

Мы можем использовать следующие тождества тригонометрии: tg(2a) = 2tg(a) / (1 - tg²(a)) и sin(3a) = 3sin(a) - 4sin³(a)

Подставим их в наш предел:

lim (tg² 4x) / (x sin3x) x->0

= lim (2tg² 2x) / (x (3sin x - 4sin³ x))

= lim (4tg² x / (1 - tg² x)) / (x (3sin x - 4sin³ x)) (применяем тождество)

= lim (4tg² x / (1 - tg² x)) / (3xsin x - 4xsin³ x)

= lim (4tg² x / (1 - tg² x)) / (3xsin x) - lim (4tg² x / (1 - tg² x)) * (4xsin² x) / (3xsin x - 4xsin³ x) (разделяем на два предела)

= lim (4tg² x / (1 - tg² x)) / (3xsin x) - lim 16x tg² x * sin x / (3xsin x - 4xsin³ x)

Оба предела можно вычислить с помощью правила Лопиталя:

= lim (4tg² x / (1 - tg² x)) / (3xsin x) - lim (16tg² x + 16x tg x / cos x) / (3cos x - 12xsin² x)

= lim (4tg² x / (1 - tg² x)) / (3xsin x) - lim 16tg² x + 16x / cos x / (3cos x - 12xsin² x)

= lim (4tg² x / (1 - tg² x)) / (3xsin x) - lim 16tg² x + 16x / cos x * 1 / (3 - 12x cos² x)

Теперь мы можем вычислить оба предела:

lim (4tg² x / (1 - tg² x)) / (3xsin x) = lim (4tg² x / (1 - tg² x)) / (3x * 2x / 2) = 4/3

lim 16tg² x + 16x / cos x * 1 / (3 - 12x cos² x) = 16

Таким образом, исходный предел равен:

4/3 - 16 = -44/3

2. lim (7-3x) в степени x / (2x-4) x->2

Выразим предел в виде экспоненциальной функции:

lim (7-3x) в степени x / (2x-4) x->2

= lim ((7-3x) / (2x-4)) в степени x / (2x-4) x->2

= lim (1 + (-3x+10) / (2x-4)) в степени (-3x+10) / ((2x-4) *