Question

Помогите, пожалуйста, решить задачу: Имеется много одинаковых кубиков. Из них склеили всевозможные фигуры , состоящие из 5 кубиков, соединённых гранями так, что совпали вершины склеиваемых граней. А затем подсчитали площади поверхностей полученных фигур , состоящих из равных квадратов. Сколько различных значений получили?

Answer 1

У пяти кубиков всего  5 * 6 = 30 граней.

Каждое соединение двух кубиков уменьшает их количество на 2 грани.

Всего из пяти кубиков можно построить 15 фигур - на рисунке в приложении.

У большинства из них - четыре общих грани и 30 - 8 = 22 открытых грани.

Только у рис. 5 и 15 -  по 5 общих грани и 20 граней открыты.

Ответ: Два варианта числа открытых граней.

Answer 2

Пусть каждая из фигур состоит из 5 кубиков. Каждая грань кубика имеет площадь 1, поэтому каждый кубик имеет 6 граней, и общая поверхность пяти кубиков имеет площадь 5 x 6 = 30.

Рассмотрим все возможные конфигурации из 5 кубиков, объединенных гранями. Начнем с кубика, у которого есть 3 грани, смежные с другими кубиками. Таких кубиков всего 6 (их можно разместить в пространстве так, чтобы одна из граней смотрела вверх, а три грани были направлены к разным сторонам).

Теперь рассмотрим случай, когда один кубик имеет 2 грани, смежные с другими кубиками, а остальные кубики имеют по 3 грани, смежные с другими кубиками. Таких кубиков тоже 6 (их можно разместить в пространстве так, чтобы две смежные грани смотрели вверх и вбок, а остальные грани были направлены к разным сторонам).

Наконец, рассмотрим случай, когда все 5 кубиков имеют по 3 грани, смежные с другими кубиками. В этом случае существует только один такой набор кубиков.

Таким образом, всего существует 6 + 6 + 1 = 13 различных конфигураций из 5 кубиков, и каждая из них имеет поверхность площадью 30. Следовательно, всего получили 1 значение площади поверхности - 900 (30 умножить на 13).