Question

Пусть - корни уравнения . Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа   и

Answer 1

3x² + x - 3 = 0               |:3
x² + x/3 - 1 = 0
По теореме, обратной теореме Виета:
x₁ + x₂ = -1/3
x₁x₂ = -1

Найдём сумму корней:
x₁' + x₂' = x₁ + 2 + x₂ + 2 = x₁ + x₂ + 4 = -1/3 + 4 = 11/3
x₁'x₂' = (x₁ + 2)(x₂ + 2) = x₁x₂ + 2x₁ + 2x₂ + 4 = x₁x₂ + 2(x₁ + x₂) + 4 = 
= -1 - 2/3 + 4 = 3 - 2/3 = 7/3

Используя ещё раз теорему Виета, получаем, что в уравнении x² + qx + c = 0 q = -11/3 и c = 7/3
Значит, уравнение будет иметь вид:
x² - 11x/3 + 7/3 = 0 или 
3x² - 11x + 7 = 0 

Ответ: 3x² - 11x + 7 = 0. 

Answer 2

Если числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то это означает, что $(x-a)$ и $(x-b)$ являются его множителями. Мы можем использовать этот факт, чтобы составить квадратное уравнение, корнями которого являются заданные числа.

Итак, у нас есть корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 5$. Значит, у нас есть множители $(x + 2)$ и $(x - 5)$. Умножим их друг на друга, чтобы получить квадратное уравнение:

$(x + 2)(x - 5) = x^2 - 3x - 10$

Таким образом, квадратное уравнение, корнями которого являются числа $-2$ и $5$, имеет вид:

$x^2 - 3x - 10 = 0$