Question

Відстань між містами А і В дорівнює 90 км. З них одночасно назустріч один одному виїхали два мопеди. З якими швидкостями вони їхали, якщо після зустрічі перший дістався до міста В через 1 год 15 хв, а другий до міста А - через 48 хв?

Answer 1

Пусть х скорость первого мопеда, а скорость второго у. До места встречи первый ехал 1 ч 15 мин=1,25 ч и проехал 1,25х, второй мопед до места встречи ехал 48 мин = 0,8 ч и проехал 0,8у , а всего вместе проехали 90 км. На всё расстояние второй затратил времени меньше на 1,25-0,8=0,45 ч. Составим  уравнение расстояния и выделим х:
1,25х+0,8у=90
1,25х=90-0,8у
х=72-0,64у
Составим уравнение времени и подставим значение х:
90/х-90/у=0,45;
90/(72-0,64у)-90/у=0,45
90у-90(72-0,64у)=0,45у(72-0,64у)
90у-6480+57,6у=32,4у-0,288у²
0,288у²+115,2у-6480=0 ; (делим все части уравнения на 0,288)
у²+400-22500=0
D=250000
у₁=-450 км/ч не подходит, т.к. скорость не может быть отрицательной.
у₂=50 км/ч скорость второго мопеда.
х=72-0,64×50=40 км/ч скорость первого мопеда.
Ответ: 40 км/ч скорость первого мопеда; 50 км/ч скорость второго мопеда.

Answer 2

Позначимо швидкість першого мопеда через $v_1$, а швидкість другого - через $v_2$. За час зустрічі, який дорівнює $\frac{90}{v_1 + v_2}$ годин, перший мопед проїде відстань, що дорівнює $v_1 \cdot \frac{90}{v_1 + v_2}$ км, а другий мопед проїде відстань, що дорівнює $v_2 \cdot \frac{90}{v_1 + v_2}$ км.

За умовою задачі, перший мопед проїхав відстань $90 - v_2 \cdot \frac{3}{4}$ км за час 1 год 15 хв, тобто $\frac{5}{4}$ години. Звідси маємо рівняння: $90 - v_2 \cdot \frac{3}{4} = v_1 \cdot \frac{5}{4}.$

Аналогічно, другий мопед проїхав відстань $90 - v_1 \cdot \frac{4}{5}$ км за 48 хвилин, тобто $\frac{4}{5}$ години. Звідси маємо друге рівняння: $90 - v_1 \cdot \frac{4}{5} = v_2 \cdot \frac{4}{5}.$

Отримали систему рівнянь з двома невідомими $v_1$ та $v_2$. Розв'язуємо її:

\begin{cases} 90 - v_2 \cdot \frac{3}{4} = v_1 \cdot \frac{5}{4}, \ 90 - v_1 \cdot \frac{4}{5} = v_2 \cdot \frac{4}{5}. \end{cases}

З першого рівняння виразимо $v_2$: $v_2 = \frac{4}{5} \cdot (90 - v_1 \cdot \frac{5}{4}) = 72 - v_1.$

Підставимо це значення в друге рівняння і отримаємо рівняння з однією невідомою:

$90 - v_1 \cdot \frac{4}{5} = (72 - v_1) \cdot \frac{4}{5}.$

Розв'язавши його, отримуємо:

$v_1 = 30, \quad v_2 = 42.$

Отже, перший мопед їхав зі швидкістю 30 км/год, а другий - зі швидкістю 42 км/год.