Question

Решите уравнение sin^2x+2cos^2 2x=7/4

Answer 1

Sin²x+2cos²2x=7/4
sin²x+2(1-2sin²x)²=7/4
sin²x+2(1-4sin²x+4sin^4)-7/4=0
sin²x+2-8sin²x+8sin^4-7/4=0
8sin^4-7sin²x+1/4=0
sin²x=t
8t²-7t+1/4=0
D=49-4*8*1/4=49-8=41 а дальше корень не извлекается

Answer 2

Данное уравнение не является тривиальным и требует использования тригонометрических преобразований для решения. Мы можем заметить, что в левой части уравнения присутствуют квадраты синуса и косинуса, поэтому мы можем воспользоваться тригонометрической формулой, которая связывает их:

sin^2x + cos^2x = 1

Также мы можем заметить, что 2cos^2 2x = cos^2 2x + cos^2 2x. Используя формулу суммы косинусов, мы можем записать:

cos^2 2x + cos^2 2x = 2cos^2(2x + 2x) = 2cos^2 4x

Теперь мы можем переписать исходное уравнение, используя эти тригонометрические преобразования:

1 + 2cos^2 4x = 7/4

Переносим константы на одну сторону уравнения:

2cos^2 4x = 3/4

Делим обе части на 2:

cos^2 4x = 3/8

Теперь мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей:

cos 4x = ±√(3/8)

Так как косинус имеет период 2π, то мы можем записать общее решение уравнения:

4x = ±arccos(√(3/8)) + 2πk, где k - любое целое число.

Разрешая относительно x, мы получаем:

x = (±arccos(√(3/8)) + 2πk) / 4, где k - любое целое число.

Таким образом, мы получили бесконечное множество решений, которое задается этой формулой.