Question

Знайдіть суму коренів 2cos^x+5sin x-4=0 xє[-2π ; π]

Answer 1

Дискриминантом реши

Answer 2

Для розв'язання цього завдання ми можемо скористатися формулою квадратного кореня:

√(a + b) = √a √(1 + b/a)

Застосуємо цю формулу до нашого рівняння, де a = 2cos^2x і b = 5sinx - 4:

√(2cos^2x + 5sinx - 4) = √2cos^2x √(1 + (5sinx - 4)/2cos^2x)

Ми можемо спростити підкореневий вираз, використовуючи тригонометричні тотожності:

5sinx - 4 = 8sin(x/2)^2 - 4cos^2x/2

Замінивши цей вираз у формулі вище, ми отримуємо:

√(2cos^2x + 8sin(x/2)^2 - 2cos^2x) = √8sin(x/2)^2 = 2sin(x/2)

Таким чином, сума коренів нашого рівняння буде рівна:

∑ sqrt(2cos^2x + 5sinx - 4) = ∫_[-2π,π] 2sin(x/2) dx = -4(cos(π/2) - cos(-2π/2)) = 0

Отже, сума коренів нашого рівняння дорівнює нулю.