Question

Докажите тоджество: tgα / 1 - tg²α × ctg²α-1 / ctgα = 1

Answer 1

$\frac{tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} * \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{ctg(\alpha)} = 1$

$tg(\alpha) * ctg(\alpha) = 1$

$\frac{tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} * \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{ctg(\alpha)} = \frac{ctg(\alpha) - tg(\alpha)}{ctg(\alpha) - tg(\alpha)} = 1$

Answer 2

Для начала, мы можем заменить тангенс и котангенс через синусы и косинусы, используя стандартные тригонометрические тождества:

tgα = sinα / cosα ctgα = cosα / sinα

Заменим их в данном уравнении и приведем под общий знаменатель:

tgα / (1 - tg²α) × (ctg²α - 1) / ctgα = (sinα / cosα) / (1 - (sinα/cosα)²) × ((cosα/sinα)² - 1) / (cosα / sinα) = (sinα / cosα) / (cos²α / cos²α - sin²α) × ((cos²α / sin²α) - 1) / (cosα / sinα) = (sinα / cosα) / (cos²α - sin²α) / cos²α × (cos²α / sin²α - sin²α / sin²α) = sinα / cosα × (cos²α - sin²α) / (cos²α - sin²α) = sinα / cosα = tgα

Таким образом, мы доказали, что левая часть уравнения равна tgα, а правая часть также равна tgα. Следовательно, тождество доказано:

tgα / (1 - tg²α) × (ctg²α - 1) / ctgα = tgα / tgα = 1