Question

Дано: треугольник АВС. L A : L B : L C = 9:7:4. Найти углы треугольника АВС.

Answer 1

Сумма углов во всяком треугольнике равна 180°
$9x+7x+4x=180 \\ 20x=180 \\ x=9$
∠A = 9·9 = 81°
∠B = 7·9 = 63°
∠C = 4·9 = 36°

Answer 2

Коэффициенты пропорции, которые даны в задаче, обозначают отношения длин сторон треугольника. Пусть длины сторон треугольника АВС равны LA, LB и LC соответственно. Тогда:

LA : LB : LC = 9 : 7 : 4

Можно найти коэффициент пропорциональности, деля наибольшее отношение на наибольший коэффициент:

9 : 7 : 4 = 9/9 : 7/9 : 4/9 = 1 : 7/9 : 4/9

Заметим, что сумма коэффициентов пропорциональности равна 1, что означает, что мы имеем дело с длинами сторон треугольника.

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника:

LA = 9x LB = 7x LC = 4x

где x - некоторая константа, которую мы можем выбрать произвольно. Например, мы можем выбрать x = 1, тогда получим:

LA = 9 LB = 7 LC = 4

Теперь, используя закон косинусов, мы можем найти углы треугольника. Пусть углы при вершине А, В и С обозначаются соответственно как α, β и γ. Тогда:

cos(α) = (LB² + LC² - LA²) / (2 * LB * LC) cos(β) = (LA² + LC² - LB²) / (2 * LA * LC) cos(γ) = (LA² + LB² - LC²) / (2 * LA * LB)

Подставив найденные значения длин сторон, получим:

cos(α) = (7² + 4² - 9²) / (2 * 7 * 4) = -11/28 cos(β) = (9² + 4² - 7²) / (2 * 9 * 4) = 3/4 cos(γ) = (9² + 7² - 4²) / (2 * 9 * 7) = 23/63

Теперь мы можем найти углы, воспользовавшись обратной функцией косинуса (арккосинусом):

α = arccos(-11/28) ≈ 104.5° β = arccos(3/4) ≈ 41.4° γ = arccos(23/63) ≈ 34.1°

Таким образом, углы треугольника АВС равны примерно 104.5°, 41.4° и 34.1°.