Question

Решите неравенство 4^x-8*2^x+7≥0

Answer 1

4^x-8*2^x+7≥0
2²ˣ-8*2ˣ+7 ≥0    замена 2ˣ=а , ОДЗ а>0
а²-8а+7≥ 0
D=64-28=63    √D=6
a₁=(8+6)/2 =7   2ˣ=7    x=㏒₂7
a₂ =(8-6)/2 =1    2ˣ=1   x=0
   +                -                          +
----------0 ------------------ ㏒₂7--------------- 

x∈ (-∞ ;0)∪(㏒₂7 ;+∞)

Answer 2

Для решения этого неравенства, введем замену переменных. Обозначим 2^x = y. Тогда неравенство примет вид:

4^x - 8*2^x + 7 ≥ 0 y^2 - 8y + 7 ≥ 0

Далее решим квадратное уравнение y^2 - 8y + 7 = 0:

D = (-8)^2 - 417 = 36 y1 = (8 + √D) / 2 = 7 y2 = (8 - √D) / 2 = 1

Таким образом, неравенство y^2 - 8y + 7 ≥ 0 выполняется при y ≤ 1 или y ≥ 7.

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

2^x ≤ 1 или 2^x ≥ 7

Первое неравенство выполняется при x ≤ 0, второе - при x ≥ log2(7) ≈ 2.81.

Итак, решением исходного неравенства является множество всех x, удовлетворяющих условиям x ≤ 0 или x ≥ log2(7).