Question

При каких значениях параметра aнеравенство −x2+(a+2)x−8a−1>0имеет хотя бы одно решение?

Answer 1

По условию уравнение должно иметь хотя бы одно решение,значит дискриминант должен быть больше  0.
D=(a+2)²-4*(-1)*(-8a-1)=a²+4a+4-32a-4=a²-28a=a(a-28)>0
a=0  a=28
           +                _                  +
----------------(0)------------(28)----------------
a∈(-∞;0) U (28;∞)

Answer 2

Приведем данное неравенство к положительному коэффициенту при x2:

−x^2+(a+2)x−8a−1>0⇔x^2−(a+2)x+8a+1<0.

Вычислим дискриминант: D=(a+2)^2−4(8a+1)=a2+4a+4−32a−4=a^2−28a. Чтобы данное неравенство имело решение, необходимо, чтобы хотя бы одна точка параболы лежала ниже оси x. Так как ветви параболы направлены вверх, то для этого нужно, чтобы квадратный трехчлен в левой части неравенства имел два корня, то есть его дискриминант был положительным. Мы приходим к необходимости решить квадратное неравенство a^2−28a>0. Квадратный трехчлен a2−28a имеет два корня: a1=0, a2=28. Поэтому неравенству a^2−28a>0 удовлетворяют промежутки a∈(−∞;0)∪(28;+∞).

Ответ:  a∈(−∞;0)∪(28;+∞).

Answer 3

Для того чтобы уравнение $-x^2 + (a+2)x - 8a - 1 > 0$ имело хотя бы одно решение, дискриминант этого уравнения должен быть меньше нуля, так как в этом случае уравнение имеет два комплексных корня.

Вычислим дискриминант:

$$D = (a+2)^2 - 4(-1)(-8a-1) = a^2 + 12a + 33.$$

Таким образом, неравенство $-x^2 + (a+2)x - 8a - 1 > 0$ имеет хотя бы одно решение при значениях параметра $a$, для которых $D < 0$, то есть:

$$a^2 + 12a + 33 < 0.$$

Это неравенство можно решить, используя метод перебора корней. Заметим, что $a^2 + 12a + 33 = (a + 3)(a + 11)$, поэтому неравенство эквивалентно:

$$(a + 3)(a + 11) < 0.$$

Отсюда получаем, что неравенство $-x^2 + (a+2)x - 8a - 1 > 0$ имеет хотя бы одно решение при $a \in (-11,-3)$.