Question

Q(x)=x⁵- 5x³ исследовал при помощи производной и построить график функций

Answer 1

$Q(x)=x^5-5x^3$

Для начала найдём точки пересечения с осями координат.

$Q(0)=0^5-5*0^3=0,(0;0)\\Q(x)=x^5-5x^3=x^3(x^2-5)=0\\(-\sqrt{5};0),(0;0),(\sqrt{5};0)$

Функция нечётная т.к. Q(x)= -Q(-x)

Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремумы.

$Q'(x)=q(x)=5x^4-15x^2=5x^2(x^2-3)=\\5x^2(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\\Q(0)=0\\Q(-\sqrt{3})=-9\sqrt{3}+15\sqrt{3}=6\sqrt{3}\\Q(\sqrt{3})=-6\sqrt{3}$

Смотри вниз.

Исследуем функцию на выпуклость вверх, вниз и точки перегиба.

$Q''(x)=q'(x)=20x^3-30x=20x(x^2-1.5)=\\x(x-\sqrt{1.5})(x+\sqrt{1.5})\\Q(0)=0\\Q(-\sqrt{1.5})=-\frac{9}{4}\sqrt{1.5}+\frac{15}{2}\sqrt{1.5}=\frac{21}{4}\sqrt{1.5}\\Q(\sqrt{1.5})=-\frac{21}{4}\sqrt{1.5}$

Смотри вниз.

$6\sqrt{3}V\frac{21}{4}\sqrt{1.5};24^2*3V21^2*1.5;576>147*1.5$

У нас есть всё, чтобы построить график функции.

Answer 2

Для исследования функции Q(x) на экстремумы и точки перегиба необходимо найти ее производную и производную второго порядка:

Q'(x) = 5x⁴ - 15x² Q''(x) = 20x³ - 30x

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, могут являться экстремумами или точками перегиба функции. Найдем эти точки:

Q'(x) = 0 => 5x⁴ - 15x² = 0 => 5x²(x² - 3) = 0

Отсюда следует, что Q'(x) = 0 при x = 0 и x = ±√3. Проверим знаки производной в окрестностях этих точек:

• Q'(x) < 0 при x ∈ (-∞, -√3) и при x ∈ (0, √3)
• Q'(x) > 0 при x ∈ (-√3, 0) и при x ∈ (√3, +∞)

Следовательно, функция Q(x) имеет локальный максимум в точках x = ±√3 и локальный минимум в точке x = 0.

Найдем точки перегиба, в которых Q''(x) = 0 или не существует:

Q''(x) = 0 => 20x³ - 30x = 0 => 2x(5x² - 3) = 0

Отсюда следует, что Q''(x) = 0 при x = 0 и x = ±√(3/5). Проверим знаки производной в окрестностях этих точек:

• Q''(x) < 0 при x ∈ (-√(3/5), 0) и при x ∈ (√(3/5), +∞)
• Q''(x) > 0 при x ∈ (-∞, -√(3/5)) и при x ∈ (0, √(3/5))

Следовательно, функция Q(x) имеет точки перегиба в точках x = ±√(3/5) и точке x = 0.

Теперь построим график функции Q(x) с учетом полученной информации:

На графике видно, что функция Q(x) имеет локальный максимум в точках x = ±√3 и локальный минимум в точке x = 0. Также видно, что функция имеет точки перегиба в точках x = ±√(3/5) и точке x = 0.