Question

Докажите тождество: 2cos^2a*tga/ sin^2a-cos^2a=-tg2a

Answer 1

2cos²a*sina/cosa:(-cos2a)=2cosasina/(-cos2a)=sin2a/(-cos2a)=-tg2a

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами тригонометрии:

1. tg(2a) = 2*tg(a) / (1 - tg^2(a))
2. cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)
3. sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Используя первую и третью формулы, можно выразить sin^2(a) через tg^2(a):

sin^2(a) = 1 / (1 + tg^2(a))

Теперь можем заменить sin^2(a) в левой части тождества:

2cos^2(a)*tg(a) / (sin^2(a) - cos^2(a)) = 2cos^2(a)*tg(a) / (1/(1 + tg^2(a)) - cos^2(a))

Далее, заменяем cos^2(a) в выражении для cos(2a):

2cos^2(a)*tg(a) / (1/(1 + tg^2(a)) - cos^2(a)) = 2cos^2(a)*tg(a) / (1/(1 + tg^2(a)) - (cos^2(a) - sin^2(a)))

Приводим подобные и упрощаем:

2cos^2(a)tg(a) / (1/(1 + tg^2(a)) - (cos^2(a) - sin^2(a))) = 2cos^2(a)tg(a)(1 + tg^2(a)) / (1 - cos^2(a)(1 + tg^2(a)) - sin^2(a)*(1 + tg^2(a)))

Используем третью формулу тригонометрии, чтобы упростить выражение в знаменателе:

2cos^2(a)tg(a)(1 + tg^2(a)) / (1 - cos^2(a)(1 + tg^2(a)) - sin^2(a)(1 + tg^2(a))) = 2cos^2(a)tg(a)(1 + tg^2(a)) / (1 - (sin^2(a) + cos^2(a))*(1 + tg^2(a)))

Снова приводим подобные и упрощаем:

2cos^2(a)tg(a)(1 + tg^2(a)) / (1 - (sin^2(a) + cos^2(a))*(1 + tg^2(a))) = 2cos^2(a)tg(a)(1 + tg^2(a)) / (-tg^2(a))

Заменяем в правой части tg(2a) по первой формуле:

2cos^2(a)tg(a)(1 + tg^2(a)) / (-tg^2(a)) = -2cos^2(a)

Таким образом, мы доказали, что левая часть равна правой, что и требовалось доказать:

2cos^2(a)*tg(a) / (sin^2(a) - cos^2(a)) = -tg(2a)