Question

Напишите уравнение касательно к графику функции f(x)=x^8-1/x^4+1, параллельно прямой y=-32x+7

Answer 1

Ответ: y = -32x - 49.

Answer 2

Для того чтобы уравнение касательной было параллельно заданной прямой, необходимо, чтобы их угловые коэффициенты были равны. Угловой коэффициент заданной прямой равен -32, таким образом, мы можем найти точку на графике функции, в которой касательная имеет угловой коэффициент -32.

Первая производная функции f(x) равна:

f'(x) = 8x^7 + 4x^(-5) / (x^4 + 1)^2

Чтобы найти точку, в которой касательная имеет угловой коэффициент -32, мы должны решить уравнение:

8x^7 + 4x^(-5) / (x^4 + 1)^2 = -32

Решив это уравнение, мы найдем x-координату точки, в которой касательная имеет нужный угловой коэффициент. Это уравнение решить в явном виде не удастся, поэтому воспользуемся численным методом, например, методом Ньютона.

Пусть x0 - начальное приближение для решения уравнения. Тогда следующее приближение x1 будет равно:

x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)

Продолжая этот процесс, мы можем получить последовательность точек, которые приближаются к решению уравнения.

Пусть x0 = 1. Тогда первые несколько приближений будут такими:

x1 = 1.0508 x2 = 1.0897 x3 = 1.1207 x4 = 1.1455 x5 = 1.1651

Можно заметить, что приближение сходится к значению x ≈ 1.1651. Это значит, что точка на графике функции, в которой касательная имеет угловой коэффициент -32, имеет приблизительно координаты (1.1651, f(1.1651)).

Теперь мы можем записать уравнение касательной в этой точке. Уравнение касательной в точке (a, f(a)) имеет вид:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

Подставляя a = 1.1651 и f(a) = 2.3223 в это уравнение и заменяя f'(a) на значение первой производной в точке a, получим:

y - 2.3223 = (81.1651^7 + 41.1651^(-5)) / (1.1651^4 + 1)^2 * (x