Question

Вычислите определенный интеграл От 0 до п/2 (-1/корень из х +cos x)dx

Answer 1

Pi/2                                                      pi/2
∫   (-√x+cosx)dx =(  (-2/3) *√x³ +sinx)  |      =
0                                                         0

= - 1/3*√(pi³/2) +1 - 0 = 1  -  (pi√(pi/2) ) /3

Answer 2

Для вычисления данного интеграла мы можем использовать замену переменной, а именно:

пусть u = sin(x), тогда du/dx = cos(x), а dx = du/cos(x).

Используя эти соотношения, мы можем переписать интеграл в следующем виде:

∫(от 0 до п/2) (-1/корень из х +cos x) dx = ∫(от 0 до 1) (-1/корень из (1-u^2) + u) du

Теперь мы можем решить этот интеграл, используя метод частных дробей.

Сначала разложим функцию под знаком интеграла на простые дроби:

(-1/корень из (1-u^2) + u) = A/корень из (1-u) + B/корень из (1+u) + C u

где A, B, и C - некоторые постоянные, которые мы должны определить.

Умножая обе части равенства на общий знаменатель и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях u, мы получаем систему уравнений:

• A + B = -1
• A - B = 0
• C = 1

Решая эту систему, мы находим, что A = -1/2, B = 1/2, и C = 1. Теперь мы можем переписать исходный интеграл в следующем виде:

∫(от 0 до 1) (-1/корень из (1-u^2) + u) du = ∫(от 0 до 1) (-1/2корень из (1-u) + 1/2корень из (1+u) + u) du

Вычислим каждый из интегралов по отдельности:

∫(от 0 до 1) (-1/2корень из (1-u)) du = [ -корень из (1-u) ] (от 0 до 1) = -1 + 1/2корень из 2

∫(от 0 до 1) (1/2корень из (1+u)) du = [ корень из (1+u) ] (от 0 до 1) = 1/2корень из 2

∫(от 0 до 1) u du = 1/2

Таким образом,

∫(от 0 до п/2) (-1/корень из х +cos x) dx = ∫(от 0 до 1) (-1/2корень из (1-u) + 1/2корень из (1+u) + u) du = (-1 + 1/2корень из 2) + 1/2корень из 2 + 1/2 = 1/2корень из 2 - 1/2

Ответ: 1/2к